1. La suma de los tres primeros términos de una progresión aritmética es 12 y la razón 16. Calcula el primer término. 2. Halla la suma de todos los números pares comprendidos entre 98 y 1002 . 3. Halla la suma de las 12 primeras potencias de 2 . 4. Halla el valor de $$ x $$ para que las siguientes expresiones formen una progresión geométrica: $$ x+2,3 x+2,9 x-2 $$. 5. Una población crece a un ritmo del $$ 2 \% $$ anual. Estudia la expresión que relaciona el número habitantes con el tiempo transcurrido. 6. Una población crece a un ritmo del $$ 2 \% $$ anual. Estudia la situación y determina el tiempo que tardará en duplicarse la población manteniendo la misma tasa de crecimiento.

Question

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Claro, a continuación se resuelven cada uno de los problemas planteados:

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**1. Calcula el primer término de una progresión aritmética**

*Datos:*
- Suma de los tres primeros términos, $$ S_3 = 12 $$
- Razón (diferencia común), $$ d = 16 $$

*Solución:*

En una progresión aritmética, la suma de los tres primeros términos se expresa como:
$$
S_3 = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 3a_1 + 3d
$$
Sustituyendo los valores conocidos:
$$
3a_1 + 3(16) = 12 \
3a_1 + 48 = 12 \
3a_1 = 12 - 48 \
3a_1 = -36 \
a_1 = \frac{-36}{3} = -12
$$

*Respuesta:* El primer término es $$ a_1 = -12 $$.

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**2. Suma de todos los números pares comprendidos entre 98 y 1002**

*Datos:*
- Primer número par, $$ a_1 = 98 $$
- Último número par, $$ a_n = 1002 $$
- Razón, $$ d = 2 $$

*Solución:*

Primero, determinamos el número de términos ($$ n $$):
$$
n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1 = \frac{1002 - 98}{2} + 1 = \frac{904}{2} + 1 = 452 + 1 = 453
$$
Luego, la suma de una progresión aritmética se calcula como:
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{453}{2}(98 + 1002) = \frac{453}{2} \times 1100 = 453 \times 550 = 249{,}150
$$

*Respuesta:* La suma es $$ 249{,}150 $$.

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**3. Suma de las 12 primeras potencias de 2**

*Datos:*
- Potencias: $$ 2^1, 2^2, \ldots, 2^{12} $$

*Solución:*

Esta es una progresión geométrica con primer término $$ a = 2 $$ y razón $$ r = 2 $$. La suma de las primeras $$ n $$ potencias es:
$$
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1} = 2 \frac{2^{12} - 1}{2 - 1} = 2 (4096 - 1) = 2 \times 4095 = 8190
$$

*Respuesta:* La suma es $$ 8{,}190 $$.

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**4. Determinar el valor de $$ x $$ para una progresión geométrica**

*Expresiones:*
$$
a = x + 2,\quad b = 3x + 2,\quad c = 9x - 2
$$

*Condición para progresión geométrica:*
$$
b^2 = a \cdot c
$$
Sustituyendo:
$$
(3x + 2)^2 = (x + 2)(9x - 2) \
9x^2 + 12x + 4 = 9x^2 + 16x - 4 \
9x^2 + 12x + 4 - 9x^2 -16x +4 = 0 \
-4x + 8 = 0 \
-4x = -8 \
x = 2
$$

*Verificación:*
$$
a = 2 + 2 = 4,\quad b = 6 + 2 = 8,\quad c = 18 - 2 = 16
$$
Verificamos que $$ \frac{8}{4} = 2 $$ y $$ \frac{16}{8} = 2 $$, confirmando la progresión geométrica.

*Respuesta:* $$ x = 2 $$.

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**5. Expresión que relaciona el número de habitantes con el tiempo**

*Datos:*
- Tasa de crecimiento anual, $$ r = 2\% = 0.02 $$

*Expresión:*

El crecimiento poblacional a una tasa constante se modela mediante una función exponencial:
$$
P(t) = P_0 \cdot (1 + r)^t = P_0 \cdot (1.02)^t
$$
Donde:
- $$ P(t) $$ es la población en el tiempo $$ t $$ (años).
- $$ P_0 $$ es la población inicial.
- $$ t $$ es el tiempo transcurrido en años.

*Interpretación:* La población crece multiplicándose por $$ 1.02 $$ cada año, lo que representa un aumento del 2% anual.

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**6. Tiempo para duplicar la población con un crecimiento del 2% anual**

*Datos:*
- Tasa de crecimiento anual, $$ r = 2\% = 0.02 $$
- Se desea duplicar la población, es decir, $$ P(t) = 2P_0 $$

*Solución:*

Usamos la fórmula de crecimiento exponencial:
$$
2P_0 = P_0 \cdot (1.02)^t \
2 = (1.02)^t
$$
Aplicamos logaritmo natural en ambos lados:
$$
\ln(2) = t \cdot \ln(1.02) \
t = \frac{\ln(2)}{\ln(1.02)} \approx \frac{0.6931}{0.0198} \approx 35
$$
*Respuesta:* Se necesitarán aproximadamente **35 años** para que la población se duplique manteniendo una tasa de crecimiento del 2% anual.

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Espero que estas soluciones sean de ayuda. Si tienes alguna otra duda, no dudes en consultarme.
1. El primer término es -12. 2. La suma de los números pares es 249,150. 3. La suma de las potencias de 2 es 8,190. 4. El valor de $$ x $$ es 2. 5. La población crece según la fórmula $$ P(t) = P_0 \times (1.02)^t $$. 6. La población se duplicará en aproximadamente 35 años.

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