Question
6 Determina qué proposiciones son verdaderas. I. Eldominio delafunción \( f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1} \) es \( \mathbb{R}-\{1\} \) II. El rango de la función \( f(x)=\frac{2}{x-2} \) es \( \mathbb{R}-\{2\} \) III. El dominio de la función \( f(x)=\sqrt{5-2 x} \) es \( \left(-\infty, \frac{5}{2}\right] \). VI. El rango de la función \( f(x)=\frac{3}{x} \) es \( \mathbb{R} \). \( \begin{array}{ll}\text { a. I, II y IV } \quad \text { b. Ily III } \quad \text { c. I, II, II y IV } \quad \text { d. |y III }\end{array} \)
Ask by Edwards Vaughn. in Colombia
Mar 10,2025
Upstudy AI Solution
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La proposición III es verdadera.
Solution
Analicemos cada proposición por separado:
**I. Dominio de la función**
La función es
\[
f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}.
\]
El denominador es \( x^2+1 \), el cual es siempre positivo para cualquier \( x\in\mathbb{R} \) (ya que \( x^2\ge0 \) y \( x^2+1\ge1 \)). Por lo tanto, la función está definida para todo \( x\in\mathbb{R} \).
*La proposición I afirma que el dominio es \( \mathbb{R}-\{1\} \), lo cual es incorrecto.*
**II. Rango de la función**
La función es
\[
f(x)=\frac{2}{x-2}.
\]
El dominio es \( x\neq2 \). Para hallar el rango, planteamos
\[
y=\frac{2}{x-2}.
\]
Resolviendo para \( x \):
\[
x-2=\frac{2}{y}\quad\Longrightarrow\quad x=2+\frac{2}{y}.
\]
Para que esta ecuación tenga sentido, se debe cumplir que \( y\neq0 \) (ya que si \( y=0 \) no se puede hacer la división). Esto muestra que para todo \( y\neq 0 \) existe un \( x \) en el dominio tal que \( f(x)=y \).
*Por lo tanto, el rango es \( \mathbb{R}-\{0\} \), y no \( \mathbb{R}-\{2\} \) como afirma la proposición II.*
**III. Dominio de la función**
La función es
\[
f(x)=\sqrt{5-2x}.
\]
Para que la raíz cuadrada esté definida en los reales, el radicando debe ser no negativo:
\[
5-2x\ge0\quad\Longrightarrow\quad -2x\ge -5\quad\Longrightarrow\quad x\le \frac{5}{2}.
\]
*Por lo tanto, el dominio es \( \left(-\infty, \frac{5}{2} \right] \) y la proposición III es verdadera.*
**IV. (Se señala como VI en el enunciado). Rango de la función**
La función es
\[
f(x)=\frac{3}{x}.
\]
El dominio es \( x\neq0 \). Si se plantea
\[
y=\frac{3}{x}\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{3}{y},
\]
se observa que para que \( x \) esté bien definido es necesario que \( y\neq 0 \). Por ello, aunque para cada \( y\neq 0 \) existe un \( x \) tal que \( f(x)=y \), el número \( 0 \) nunca se alcanza como valor de la función.
*Así, el rango es \( \mathbb{R}-\{0\} \) y no \( \mathbb{R} \) como afirma la proposición IV (VI).*
**Conclusión:**
Solo la proposición III es verdadera.
La respuesta correcta es: solo III.
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Primero, evaluemos cada proposición: I. El dominio de la función \( f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1} \) es \( \mathbb{R} \), ya que el denominador nunca se anula. II. El rango de la función \( f(x)=\frac{2}{x-2} \) es \( \mathbb{R} - \{0\} \); la función nunca alcanza 0. III. El dominio de \( f(x)=\sqrt{5-2x} \) es correcto, ya que para que la raíz sea válida, se debe cumplir \( 5-2x \geq 0 \), lo que da el dominio \( \left(-\infty, \frac{5}{2}\right] \). IV. El rango de \( f(x)=\frac{3}{x} \) es \( \mathbb{R} - \{0\} \), ya que nunca alcanza 0. La respuesta correcta es la opción **b. I y III**. ¡Así que manos a la obra con estas funciones!
