6 Determina qué proposiciones son verdaderas. I. Eldominio delafunción \( f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1} \) es \( \mathbb{R}-\{1\} \) II. El rango de la función \( f(x)=\frac{2}{x-2} \) es \( \mathbb{R}-\{2\} \) III. El dominio de la función \( f(x)=\sqrt{5-2 x} \) es \( \left(-\infty, \frac{5}{2}\right] \). VI. El rango de la función \( f(x)=\frac{3}{x} \) es \( \mathbb{R} \). \( \begin{array}{ll}\text { a. I, II y IV } \quad \text { b. Ily III } \quad \text { c. I, II, II y IV } \quad \text { d. |y III }\end{array} \)

Analicemos cada proposición por separado: **I. Dominio de la función** La función es \[ f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}. \] El denominador es \( x^2+1 \), el cual es siempre positivo para cualquier \( x\in\mathbb{R} \) (ya que \( x^2\ge0 \) y \( x^2+1\ge1 \)). Por lo tanto, la función está definida para todo \( x\in\mathbb{R} \). *La proposición I afirma que el dominio es \( \mathbb{R}-\{1\} \), lo cual es incorrecto.* **II. Rango de la función** La función es \[ f(x)=\frac{2}{x-2}. \] El dominio es \( x\neq2 \). Para hallar el rango, planteamos \[ y=\frac{2}{x-2}. \] Resolviendo para \( x \): \[ x-2=\frac{2}{y}\quad\Longrightarrow\quad x=2+\frac{2}{y}. \] Para que esta ecuación tenga sentido, se debe cumplir que \( y\neq0 \) (ya que si \( y=0 \) no se puede hacer la división). Esto muestra que para todo \( y\neq 0 \) existe un \( x \) en el dominio tal que \( f(x)=y \). *Por lo tanto, el rango es \( \mathbb{R}-\{0\} \), y no \( \mathbb{R}-\{2\} \) como afirma la proposición II.* **III. Dominio de la función** La función es \[ f(x)=\sqrt{5-2x}. \] Para que la raíz cuadrada esté definida en los reales, el radicando debe ser no negativo: \[ 5-2x\ge0\quad\Longrightarrow\quad -2x\ge -5\quad\Longrightarrow\quad x\le \frac{5}{2}. \] *Por lo tanto, el dominio es \( \left(-\infty, \frac{5}{2} \right] \) y la proposición III es verdadera.* **IV. (Se señala como VI en el enunciado). Rango de la función** La función es \[ f(x)=\frac{3}{x}. \] El dominio es \( x\neq0 \). Si se plantea \[ y=\frac{3}{x}\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{3}{y}, \] se observa que para que \( x \) esté bien definido es necesario que \( y\neq 0 \). Por ello, aunque para cada \( y\neq 0 \) existe un \( x \) tal que \( f(x)=y \), el número \( 0 \) nunca se alcanza como valor de la función. *Así, el rango es \( \mathbb{R}-\{0\} \) y no \( \mathbb{R} \) como afirma la proposición IV (VI).* **Conclusión:** Solo la proposición III es verdadera. La respuesta correcta es: solo III.