105. Izračunajte realno število \( k \) tako, da bo dolžina vektorja \( \vec{a}=(k+2,4-2 k, 3 k-1) \) enaka \( \sqrt{17} \).

1. Dolžina vektorja \(\vec{a}=(k+2,\,4-2k,\,3k-1)\) je dana z izrazom \[ \|\vec{a}\| = \sqrt{(k+2)^2 + (4-2k)^2 + (3k-1)^2}. \] 2. Postavimo pogoj, da je dolžina enaka \(\sqrt{17}\): \[ \sqrt{(k+2)^2 + (4-2k)^2 + (3k-1)^2} = \sqrt{17}. \] Kvadriramo obe strani enačbe, da se znebimo korena: \[ (k+2)^2 + (4-2k)^2 + (3k-1)^2 = 17. \] 3. Razstavimo in poenostavimo posamezne kvadrate: \[ \begin{aligned} (k+2)^2 &= k^2 + 4k + 4, \\ (4-2k)^2 &= 16 - 16k + 4k^2, \\ (3k-1)^2 &= 9k^2 - 6k + 1. \end{aligned} \] 4. Seštetemo vse člene: \[ k^2 + 4k + 4 + 4k^2 - 16k + 16 + 9k^2 - 6k + 1 = 17. \] Združimo enake vrste: \[ (k^2 + 4k^2 + 9k^2) + (4k - 16k - 6k) + (4 + 16 + 1) = 14k^2 - 18k + 21. \] Tako dobimo enačbo \[ 14k^2 - 18k + 21 = 17. \] 5. Od enačbe odštejemo 17, da dobimo ničlo na desni strani: \[ 14k^2 - 18k + 21 - 17 = 0, \] kar poenostavimo v \[ 14k^2 - 18k + 4 = 0. \] Delimo enačbo z 2: \[ 7k^2 - 9k + 2 = 0. \] 6. Rešimo kvadratno enačbo \(7k^2 - 9k + 2 = 0\). Ali najdemo korenine z razcepitvijo: \[ 7k^2 - 7k - 2k + 2 = 0, \] kar združimo v: \[ 7k(k-1) -2(k-1) = 0. \] Izluščimo skupni faktor \((k-1)\): \[ (7k-2)(k-1) = 0. \] 7. Nastavimo posamezne člene enačbe enake nič: \[ 7k-2=0 \quad \text{ali} \quad k-1=0. \] Rešimo vsako: \[ k=\frac{2}{7} \quad \text{ali} \quad k=1. \] Torej, realni vrednosti za \( k \) so \(\frac{2}{7}\) in \(1\).