Crawford Carroll

10/15/2024 · Junior High School

Exercice 13 Soit \( A \) un anneau. 1. Montrer qu'un \( A \)-module à gauche \( E \) est injectif si et seulement si le foncteur \( H o m_{A}(-, E): \) A-MOD \( \rightarrow \mathbf{A b} \) est un foncteur exact. 2. Montrer que \( \mathbb{Z} \) n'est pas un \( \mathbb{Z} \)-module injectif. 3. Soit \( E \) un \( A \)-module à gauche. Montrer que \( E \) est injectif si et seulement si pour tout idéal \( I \) de \( A \), tout \( A \)-homomorphisme \( g: I \rightarrow E \) se prolonge en un \( A \)-homomorphisme \( G: A \rightarrow E \). 4. Montrer que \( \mathbb{Q} \) et \( \mathbb{Q} / \mathbb{Z} \) sont des \( \mathbb{Z} \)-modules injectifs. 5. Montrer que tout \( \mathbb{Z} \)-module s'injecte dans un \( \mathbb{Z} \)-module injectif. 6. Montrer que tout \( A \)-module à gauche \( M \) est un sous- \( A \)-module d'un \( A \)-module à gauche injectif.