2. Una compañía va a lanzar su siguiente producto: un empaque sellador para tubería que tiene forma de sólido de revolución cuyo perfil, \( f(x)=\frac{1}{5} x^{2} \), es el que se muestra en la figura. El caucho con el que se fabrican los empaques cuesta \( 35 \$ / \mathrm{L} \). Si cada empaque se vende en \( \$ 3.00 \), calcule a. El costo del material empleado en un único empaque. ( \( 1 \mathrm{~L}=1000 \mathrm{~cm}^{3} \) ) b. Las ganancias en un año si las ventas (en millones de unidades vendidas), se ven reflejadas según la función \( v(t)=2 e^{-\frac{1}{5} t} \).

(1) Find the value of: \( \quad \lim _{x \rightarrow 4} \frac{x^{3}-15 x-4}{x-4} \)

Determine the indefinite integral \( \int (6x^3 + 4x^2) \, dx \)

(a) Determine whether \( f(x)=\frac{|x-4|-2}{x} \) is continuous at \( x=4 \). [6 marks] (b) Given \( f(x)=\frac{2 x}{\sqrt{x^{2}+2}} \). By finding the limit at appropriate values, obtain the horizontal and vertical asymptotes, if they exist. Hence, sketch the graphs of \( f(x)=\frac{2 x}{\sqrt{x^{2}+2}} \).

If the slope of the tangent to the curve: \( y=f(x) \) at any point on it equals \( 6 x+a \), whe \( a \) is constant if the equation of the tangent to the curve at the point \( (1,-1) \) is \( y=4- \) \( 5 x \), then the equation of the curve is ... \( \begin{array}{llll}\text { a) } y=3 x^{2}-4 & \text { b) } y=3 x^{2}-11 x+7 & \text { c) } y=3 x^{2}-4 x & \text { d) } y=3 x^{2}-x-3\end{array} \)

Show that \( \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi} \)