Exo3 : Determine the nature of the following numerical series. \( \begin{array}{llll}\text { 1) } \sum_{n \geqslant 1} \cos \left(\frac{1}{n}\right) & \text { 2) } \sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}} & \text { 3) } \sum_{n \geqslant 0} 5^{n} \sin \left(\frac{2}{9}\right)^{n} & \text { 4) } \frac{\sinh (n)}{\sinh (2 n)}\end{array} \) \( \begin{array}{lll}\text { 5) } \sum_{n \geqslant 0} 5^{n} \sin \left(\frac{2}{9}\right)^{n} & \text { 6) } \frac{\sinh (n)}{\sinh (2 n)} & \text { 7) } \sum_{n \geqslant 1}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}, x>0\end{array} \) Hints: NCC for 1)and 7). equivalence for 2), 3) and 4). Conjugate expression in 5). Definition of sinh and equivalence in 6).

b. \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\operatorname{sen} x \cos x)^{6} d x \)

7. Calcular \( \frac{d}{d x} \int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t \) \( \begin{array}{ll}\ln t & \text { b) } \frac{1}{t} \\ \text { c) } \frac{1}{x} & \text { d) } \frac{\ln x}{x}\end{array} \)

\( \lim _{x \rightarrow 2} f(x) \) Siendo f la siguiente función definida por partes: \( f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}, \text { si } x<2 \\ \frac{1}{x}, \\ \text { si } x \geq 2\end{array}\right. \)

Aufgabe 5 (4 Punkte, zum präzisen Aufschrieb). Seien \( \left(a_{n}\right),\left(b_{n}\right) \) beschränkte R-wertige Folgen. Zeigen Sie: 1. \( \liminf _{n \rightarrow \infty} a_{n}+\liminf _{n \rightarrow \infty} b_{n} \leq \liminf _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) \leq \limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n}+\liminf _{n \rightarrow \infty} b_{n} \) 2. \( \limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n}+\liminf _{n \rightarrow \infty} b_{n} \leq \limsup _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) \leq \limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n}+\limsup _{n \rightarrow \infty} b_{n} \)

e) Las coordenadas de los puntos máximos y minimos, \( x^{3}+2 x^{2}-11 x-12=0 \) ler. Derivada; Gualar con \( 0 \quad \) la \( (x)=0 \) \( 3 x^{2}+4 x-11 ; \) 2 da Derivada. \( 6 x+4 \)