7. (5 pts) Given that \( e^{y=}-x^{2}+2 x \sin z=0 \), find \( \frac{\partial z}{\partial x} \) using the implicit differentiation. - This function has four critical points at

Determina el punto de inflexió de la función: \( f(x)=2 x^{3}-12 x^{2}-8 \) NOTA: Escribe el resultado en coordenados, ejemplo \( (x, y) \)

Determina el punto critico de la función y expresa si corresponde a un máximo o un minimo de la función \( f(x)=2 x^{2}-8 x+9 \) NOTA: Escribe el resultado en coordenadas, ejemplo \( (x, y) \) y escribe si es un móximo o minimo.

Es el punto de inflexión de la función \( \mathrm{f}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^{3}-12 \mathrm{x}^{2}+6 \mathrm{x}-3 \) NOTA: Escribe el resultado en coordenadas, ejemplo \( (x, y) \)

Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios de funciones reales de varias variables. 1. Calcula las derivadas parciales de las siguientes funciones \( f(x, y, z)=\frac{x^{2} y-4 x z+y^{2}}{x-3 y z} \) \( g(x, y, z)=\operatorname{sen}\left(x^{2} y-z\right)+\cos \left(x^{2}-y z\right) \) 2. Calcula las cuatro derivadas parciales de orden superior \( \quad f(x, y)=x e^{-3 y}+\operatorname{sen}(2 x-5 y) \). 3. Encuentra la diferencial total de: a. \( z=2 x \) sen \( y-3 x^{2} y^{2} \quad \) b. \( w=x^{2}+y^{2}+z^{2} \) 4. Suponga que la ecuación \( z^{2}=x^{2}+x y^{2} z \) calcula la derivación implícita en función de \( z, \frac{\partial z}{\partial x} y \frac{\partial z}{\partial y} \) 5. Aplica la regla de la cadena \( z=x^{3} y-y^{4} \) y \( x=2 t^{2}, y=5 t^{2}-6 t \). Calcule \( \frac{d z}{d t} \) en \( t=1 \) 6. Calcule \( \nabla f(x, y) \) para \( f(x, y)=5 y-x^{3} y^{2} \). 7. Determine la derivada direccional de \( f(x, y)=2 x^{2} y^{3}+6 x y \) en \( (1,1) \) en la dirección del vector unitario cuyo ángulo con el eje \( x \) positivo sea \( \pi / 6 \). 8. Encuentre todos los puntos críticos para \( f(x, y)=x^{3}+y^{3}-27 x-12 y \).

Suppose that the functions \( f \) and \( g \) are defined as follows. \[ \begin{array}{l}f(x)=\frac{5}{x}, x \neq 0 \\ g(x)=x^{2}-4\end{array} \] Find the compositions \( f \) of and \( g \circ g \).