3. Given the curve \( r(t)=\left\langle 4 t,-\frac{2 t^{3}}{3}, 2 t^{2}\right\rangle \), find the followings. (a) ( 5 pts) Find \( \mathrm{a}(t) \) and \( \mathrm{T}(1) \). (b) ( 8 pts) Find the decomposition of \( \mathrm{a}(t) \) into tangential component, \( a_{T} \), and normal com- ponents, \( a_{N} \), at \( t=1 \). (c) ( 5 pts) Find the curvature \( \kappa(1) \).

\[ f(x)=3 x^{x^{4}} \] Calcule el valor, redondeando a cuatro decimales, de \( f^{\prime}(x) \) en el punto \( x=1,07 \).

) 8. Al sustituir \( u=\operatorname{sen} \theta \), ¿qué resultado se obtiene al evaluar \( \int \operatorname{sen}^{2} \theta \cos \theta d \theta \) ? \( \begin{array}{llll}\text { A) }-\cos ^{2} \theta \operatorname{sen} \theta+C & \text { B) } \frac{1}{6} \operatorname{sen}^{3} \theta \cos ^{2} \theta+C & \text { C) } 2 \operatorname{sen}^{2} \theta \cos ^{2} \theta-\operatorname{sen}^{3} \theta & \text { D) } \frac{1}{3}\end{array} \)

Given the differential equation \( \frac{dy}{dx} = 3y \) and the initial condition \( y(0) = 2 \), find the particular solution.

Dada la siguiente función: \[ f(x)=3 x^{x^{4}} \] Calcule el valor, redondeando a cuatro decimales, de \( f^{\prime}(x) \) en el punto \( x=1,07 \).

\( y = ( \frac { 1 + e ^ { 2 x } } { 1 - e ^ { 2 x } } ) \operatorname { Ln } ( \sqrt { 4 x + 5 } ) \)