\( \int \frac { x ^ { 3 } d x } { x ^ { 2 } + 4 x + 4 } = \int ( x - 4 ) d x + \int \frac { 12 x + 16 } { x ^ { 2 } + 4 x + 4 } \)

Podemos reescribir la integral como: \[ \int \left( x - 4 + \frac{12x + 16}{(x + 2)^2} \right) dx. \] La primera integral es sencilla: \[ \int (x - 4) \, dx = \frac{x^2}{2} - 4x + C_1. \] Para la segunda integral, podemos simplificar el numerador: \[ 12x + 16 = 12(x + 2) - 8. \] Por lo tanto, la integral se convierte en: \[ \int \frac{12(x + 2) - 8}{(x + 2)^2} \, dx = \int \left( \frac{12}{x + 2} - \frac{8}{(x + 2)^2} \right) dx. \] Ahora, resolvemos ambas integrales: 1. \(\int \frac{12}{x + 2} \, dx = 12 \ln |x + 2| + C_2\). 2. \(\int -\frac{8}{(x + 2)^2} \, dx = 8 \cdot \frac{1}{x + 2} + C_3\). Finalmente, combinamos todos los resultados: \[ \int \frac{x^3 \, dx}{x^2 + 4x + 4} = \frac{x^2}{2} - 4x + 12 \ln |x + 2| - \frac{8}{x + 2} + C, \] donde \(C\) es la constante de integración que combina \(C_1\), \(C_2\) y \(C_3\).