\( \int _ { 1 } ^ { e ^ { \pi } } \frac { \sin ^ { 3 } ( \ln x ) \cos ^ { 4 } ( \ln x ) } { x } d x \)

\( f ( x ) = x ^ { r } e ^ { - x } \quad y ^ { \prime } ? , y ^ { \prime \prime } ? \)

Soit \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) une fonction \( T \)-périodique, telle que \( \lim _{+\infty} f=\ell \). Montrer que \( f \) est constante. Exercice \( \mathbf{7 . 1 . 2}(\star \star \star) \) Soiet \( f,: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), avec \( g \) périodique, \( f+g \) monotone, et \( \lim _{+\infty} f=0 \). Montrer que \( g \) est constante.

Exercice 8 : Problème de synthèse On considére la fonction \( f \) dérinie sur \( [0 ;+\infty[ \) par \( f(x)=9 x+(15-2 x) \sqrt{x} \) et la fonction \( g \) définie également sur \( [0 ;+\infty[ \) par \( g(x)=18 \sqrt{x}-6 x+15 \). 1. Dresser le tableau de variations complet de la fonction \( g \). 2. Démontrer, sans la résoudre, que l'équation \( g(x)=0 \) admet une unique solution sur \( [0 ;+\infty[ \) que l'on notera \( \alpha \). 3. Foumir un encadrement au centième de \( \alpha \). 4. En déduire le signe signe de \( g(x) \) pour tout \( x \in[0 ;+\infty[ \). 5. Démontrer que, pour tout \( x \in] 0 ;+\infty\left[\right. \) on a \( f^{\prime}(x)=\frac{g(x)}{2 \sqrt{x}} \).

\( \lim _ { m \rightarrow + \infty } \frac { m ! + 2 ^ { m } } { ( m + 1 ) ! } \)

\( \operatorname{Lim}_{n \rightarrow \infty} \frac{1+3+5+\ldots . \text { to } n \text { terms }}{n^{2}} \)