4. Find eigen values and eigen vectors of the matrix \( \left(\begin{array}{ll}5 & 1 \\ 4 & 2\end{array}\right) \) 5. Prove that \( r^{n} \vec{r} \) is an irrotational for any value of \( n \) but is solenoidal if \( n+3=0 \).

Determine la longitud de la curva \( x=\frac{y^{5}}{5}+\frac{1}{12 y^{3}} \) en el intervalo \( y \in[1,2] \). resultado con dos decimales.

Given the system of differential equations: \[ \frac{d \mathbf{x}}{d t}=A \mathbf{x} \] where \( A=\left(\begin{array}{ll}4 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right) \), what is the general solution for \( \mathbf{x}(t) \) ?

Encontrar \( f(t) \) si \( F(s)=\frac{2}{(s+2)^{4}}+\frac{3}{s^{2}+16}+\frac{5(s+1)}{s^{2}+2 s+5} \)

Ercontrar \( f(t) \) si \( F(s)=\frac{5}{s^{2}+4}+\frac{20 s}{s^{2}+9} \)

Analizar en cada caso si es posible aplicar el Teorema de Stokes para calcular la circulación de \( \vec{F} \) a lo largo de \( C:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=1 \\ z=0\end{array}\right. \) Hallar el valor de esa circulación. (i) \( \vec{F}=\left\langle\frac{-x}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}}, \frac{-y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}}, \frac{-z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}}\right\rangle \)