13 puntos Considere la transformación \( T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow P_{3} \) definida por \[ T\binom{a}{b}=a+b+(a-b) x+(2 a+b) x^{2} \] a) 5 puntos Halle una base para el núcleo de \( T \) y su nulidad.

En \( \mathrm{R}^{2} \) suponga que \( (x)_{B_{1}}=\binom{2}{-1} \), donde \( B_{1}=\left\{\binom{1}{1},\binom{2}{3}\right\} \) Al escribir \( x \) en términos de la base \( B_{2}=\left\{\binom{0}{3},\binom{5}{-1}\right\} \) queda \( (x)_{B_{3}}=\binom{-\frac{1}{3}}{\beta} \) ¿Cuánto vale \( \beta \) ?

9. Choose a topic that interests you or a question you would like to attempt to answer. Describe how you would go about collecting data on the topic, and then explain how you would display your data in a graph. Tell why you chose the particular graph.

13 puntos Considere la transformación \( T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow P_{3} \) definida por \[ T\binom{a}{b}=a+b+(a-b) x+(2 a+b) x^{2} \] a) 5 puntos Halle una base para el núcleo de \( T \) y su nulidad.

Encuentre la representación matricial \( A_{T} \) de la transformación lineal: \( T: \mathrm{R}^{3} \rightarrow \mathrm{R}^{2}: \mathrm{T}\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=\binom{x-y+z}{-2 x+2 y-2 z} \)

En \( R^{2} \) suponga que \( (x)_{B_{1}}=\binom{2}{-1} \), donde \( B_{1}-\left\{\binom{1}{1},\binom{2}{3}\right\} \). Al escribir \( x \) en términos de là base \( B_{2}=\left\{\binom{0}{3},\binom{5}{-1}\right\} \) queda \( (x)_{B_{1}}=\binom{-\frac{1}{3}}{\beta} \) ¿Cuánto vale \( \beta \) ?