19 On considère la fonction \( f \) définie sur \( ]-\infty ;-1[\cup]-1 ;+\infty\left[\operatorname{par} f(x)=\frac{x^{2}+3 x}{x+1}\right. \). 1. Justifier qu'en l'infini la limite est une forme indéter- minée. 2. Factoriser et simplifier \( f(x) \) et déterminer les limites en \( -\infty \) et en \( +\infty \).

Evaluate the function. If the value is not a rational number, rouna (a) \( \operatorname{csch}^{-1}(3) \) (b) \( \operatorname{coth}^{-1}(6) \)

Use the quotient rule to take the derivative of the following functions: \( \begin{array}{ll}\text { 1. } y=\frac{x^{2}-4 x}{2 x+6} & \text { 2. } x+x y+y=2 \\ \text { 3. } y=x^{2} y+1 & \text { 4. } f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{3-x}}\end{array} \)

On prend pour première approximation de \( \alpha \) l'abscisse \( x_{1} \) du point d'in- tersection de la tangente au point \( (b, f(b)) \) avec l'axe \( (O x) \), puis on itère la procédure sur \( \left[a, x_{1}\right] \) pour obtenir \( \mathrm{x}_{2} \ldots \) 2. Montrer que \( x_{1}=b-\frac{f(b)}{f^{\prime}(b)} \). 3. Montrer que \( \frac{\mathrm{f}(\mathrm{b})-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}\right)}{\mathrm{b}-\mathrm{x}_{1}} \leq \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{b}) \). 4. En déduire que \( f\left(x_{1}\right) \geq 0 \), puis \( x_{1} \geq \alpha \). \( \quad \) Ceci nous ramène à considérer la suite définie par \( \mathrm{x}_{0}=\mathrm{b} \) et la relation: \( \forall \mathrm{n} \in \mathbb{N} \mathrm{x}_{\mathrm{n}+1}=\mathrm{x}_{\mathrm{n}}-\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{s}_{\mathrm{n}}\right)}{\mathrm{f}^{\prime}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right)} \) En introduisant la fonction \( g: x \rightarrow x-\frac{f(x)}{f \prime(x)} \) on peut écrire \( x_{n+1}= \) \( g\left(x_{n}\right) \). 5. Etudier la monotonie de g sur \( [\mathrm{a}, \mathrm{b}] \) et montrer que \( \mathrm{g}([\alpha, \mathrm{b}]) \subset[\alpha, \mathrm{b}] \).

Find the indefinite integral. (Remember the constant of integration.)

Consider the following. \[ y=\sinh \left(4-x^{2}\right),(2,0) \] Find \( y^{\prime} \) Find the slope of the line tangent to the graph of \( y \) at the given point. Find an equation of the tangent line to the graph of the function at the given point. .