19 On considère la fonction \( f \) définie sur \( ]-\infty ;-1[\cup]-1 ;+\infty\left[\operatorname{par} f(x)=\frac{x^{2}+3 x}{x+1}\right. \). 1. Justifier qu'en l'infini la limite est une forme indéter- minée. 2. Factoriser et simplifier \( f(x) \) et déterminer les limites en \( -\infty \) et en \( +\infty \).

Given the differential equation \( \frac{dy}{dx} = 3y \) and the initial condition \( y(0) = 2 \), find the particular solution.

Evaluate the given improper integral or show it diverges: \[ \int_{1}^{+\infty} \frac{x^{2}}{\left(x^{3}+1\right)^{2}} d x \]

Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями: \[ y=3 \sin x, y=-2 \sin x, x=0, x=\frac{2 \pi}{3} \]

Un arquitecto está diseñando una estructura y necesita encontrar el punto más alto de una parábola que describe el arco de un puente. La función que describe el arco es \( y=-x^{2}+4 x+5 \). Indica el procedimiento para utilizar la derivada en este contexto para encontrar el punto más alto del arco. a. Integrar la función \( y(x) \). b. Evaluar la función \( y(x) \) en varios puntos. c. Graficar la función \( y(x) \) y encontrar el máximo visualmente. d. Derivar la función \( y(x) \), igualar a cero y resolver para \( x \).

12) [10 points] Determine which of the following definite integrals equals \( \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} \sqrt{\frac{i}{n}} \).