9 EXERCICE 05 : Soit la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par: \( f(x)=x \sqrt{x^{2}+1} \) 1) Montrer que \( f \) admet une fonction réciproque \( f^{-1} \) définie sur son domaine de définition qu'on déterminera 2) a-Montrer que \( f^{-1} \) est dérivable en o et en \( \sqrt{2} \). b-Calculer \( \left(f^{-1}\right)^{\prime}(0) \) et \( \left(f^{-1}\right)^{\prime}(\sqrt{2}) \) (on remarque que: \( f(0)=0 \) et \( f(1)=\sqrt{2} \) )

1.60 iano \( f(x), g(x) \) due funzioni derivabili per \( x>a \). Dimostrare che \( f(x) \leq g(x) \), per ogni \( x>a \), se valgono le due condizioni: \[ f^{\prime}(x) \geq g^{\prime}(x), \quad \forall x>a ; \quad \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-g(x)]=0 \text {. } \] [Applichiamo il teorema di Lagrange alla differenza \( f-g \) nell' intervallo \( [x, b] \), con \( a<x<b \). Esiste \( \xi \in(x, b) \) per cui \( [f(b)-g(b)]-[f(x)-g(x)]=\left[f^{\prime}(\xi)-g^{\prime}(\xi)\right](b-x) \geq 0 \) Al limite, per \( b \rightarrow+\infty \), otteniamo la tesi \( ] \)

Use an appropriate test to determine whether the following series converges. \( \sum_{\mathrm{k}=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{\mathrm{k}}} \) Select the correct choice below and fill in the answer box to complete your choice. (Simplify your answer.)

The following sequence forms a convergent geometric sequence: \( \frac{3}{(x-1)^{2}}+\frac{1}{(x-1)}+\frac{1}{3}+\frac{(x-1)}{9}+\ldots \) 3.3.1 Determine the possible values of x . 3.3.2 If \( x=2 \), calculate \( S_{\infty} \)

[(a) La derivata della funzione \( f(x)=e^{x \log \left(1+\frac{1}{x}\right)} \) vale \( f^{\prime}(x)=e^{x \log \left(1+\frac{1}{x}\right)}\left[\log \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x+1}\right] \) ed è strettamente positiva per la disuguaglianza dell'esercizio 1.59 ; (b) la limitazione \( f(x)<e \) equivale a \( \log f(x)<\log e=1 \), cioè \[ \log \left(1+\frac{1}{x}\right)<\frac{1}{x} \] che è verificata in base all'esercizio 1.58 . La limitazione \( f(x)<e \), per \( x>0 \), segue anche dalla precedente parte (a) e dal fatto che \( f(x) \) converge ad \( e \), per \( x \rightarrow+\infty] \)

3) \( f(x)=x^{3+\sqrt{2}}+\sqrt[4]{x^{3}} \)