\( \{ \begin{array} { l } { x = t + 2 } \\ { y = t ^ { 2 } + 1 } \end{array} \quad \frac { d ^ { r } y } { d x ^ { r } } = ? \)

34. En cada uno de los siguientes casos, halle el valor de la constante \( A \) qu hace la función dada \( f(x) \) continua para todo \( x \). a) \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x+3 & \text { si } x<1 \\ A x-1 & \text { si } x \geq 1\end{array}\right. \) b) \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}-1}{x+1} & \text { si } x<-1 \\ A x^{2}+x-3 & \text { si } x \geq-1\end{array}\right. \)

\begin{tabular}{l} 4.3 - Riemann Sums \& The Definite Integral as Area \\ For each problem, approximate the area under the given function and above the \( x \)-axis on the given \\ interval using the specified number of rectangles/trapezoids. You may use your calculator. \\ 1.) \( f(x)=x^{2}-3 x+4,[1,4], n=6 \) \\ \begin{tabular}{|l|}\hline a) Left Rectangles \\ b) Right Rectangles \\ \hline c) Midpoint Rectangles \\ \hline d) Trapezoids \\ \hline\end{tabular} \\ \hline\end{tabular}

35. La población (en miles) de una colonia de bacterias, \( t \) minutos después de introducir una toxina, está dada por la función \[ f(t)=\left\{\begin{array}{ll}t^{2}+7 & \text { si } t<5 \\ -8 t+72 & \text { si } t \geq 5\end{array}\right. \] a) ¿Cuándo morirá la colonia? b) Explique por qué la población debe ser 10,000 en algún momento entre \( t=1 \) y \( t=7 \).

\( \begin{array}{ll}5 \cdot \int_{2}^{3} \frac{3 x^{2}-7 x-2}{x^{3}-x} d x & \text { usando solo el método de } \\ & \begin{array}{l}\text { fracción simple. usted debe hallar: } \\ \text { el área }\end{array}\end{array} \)

\( \sum _ { i = 1 } ^ { 5 } \frac { 1 } { n ^ { 3 } } ( i - 1 ) ^ { 2 } \)