Prove that the series \( \frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\ldots .+\frac{1}{n^{2}} \) is convergent.

\( f ( x ) = 4 x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } - x - 1 , x = - 1 \)

\( \lim _ { z - 1 } \frac { 4 z + 3 } { 2 z + 1 } \)

23-24 ¿Cómo podría "remover la discontinuidad" en cada una de las siguientes funciones? En otras palabras, ¿cómo redefiniría \( f(2) \) a fin de que sean continuas en \( x=2 \) ? \( \begin{array}{ll}\text { 23. } f(x)=\frac{x^{2}-x-2}{x-2} & \text { 24. } f(x)=\frac{x^{3}-8}{x^{2}-4}\end{array} \)

4. Let \( g \) be a function such that \( g(1)=3 \) and whose derivative is \( g^{\prime}(x)=6 \cos (2 \pi x)+3 \). Solve analytically a. Use a linear approximation to estimate the value of \( g(1.2) \). b. Find the solution to the differential equation \( d g=(6 \cos (2 \pi x)+3) d x \)

Given the differential equation \( \frac{dy}{dx} = 3y \) and the initial condition \( y(0) = 2 \), find the particular solution.