2 Bestimmen Sie die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von \( f \). \( \begin{array}{lll}\text { a) } f(x)=2 x-e^{x} & \text { b) } f(x)=x \cdot e^{x} & \text { c) } f(x)=x \cdot e^{-x} \\ \text { d) } f(x)=x^{2} \cdot e^{2 x} & \text { e) } f(x)=e^{3 x}-6 x & \text { f) } f(x)=\left(x^{2}-3\right) \cdot e^{x}\end{array} \)

Aufgabe 4 (3 Punkte). 1. Zeigen Sie, dass \( \sum_{k=0}^{n} \frac{k}{2^{k}}=2-\frac{n+2}{2^{n}} \) für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \) gilt. 2. Bestimmen Sie den Grenzwert \( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k}{2^{k}} \) 3. Zeigen Sie mit Hilfe des Leibniz-Kriteriums, dass die Reihe \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{2 n+1}} \) konvergiert.

The equation implicitly defines \( u \) as a function of \( x \). \( \quad-\frac{x^{2}}{u^{2}}-\cos (6 \mathrm{u})=-4 \) Find \( \frac{d u}{d x} \).

7. Calcular \( \frac{d}{d x} \int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t \) \( \begin{array}{ll}\ln t & \text { b) } \frac{1}{t} \\ \text { c) } \frac{1}{x} & \text { d) } \frac{\ln x}{x}\end{array} \)

Apartir de la función \( f(x)=x^{3}+2 x^{2}-\mathbf{1 1 x - 1 2} \); Determina a) Las intersecciones con los ejes, (eje " \( x \) " y eje " \( y \) ") - Ira Derivada \( \quad 3 x^{2}+4 x-11 \)

Aufgabe 5 (4 Punkte, zum präzisen Aufschrieb). Seien \( \left(a_{n}\right),\left(b_{n}\right) \) beschränkte R-wertige Folgen. Zeigen Sie: 1. \( \liminf _{n \rightarrow \infty} a_{n}+\liminf _{n \rightarrow \infty} b_{n} \leq \liminf _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) \leq \limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n}+\liminf _{n \rightarrow \infty} b_{n} \) 2. \( \limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n}+\liminf _{n \rightarrow \infty} b_{n} \leq \limsup _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) \leq \limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n}+\limsup _{n \rightarrow \infty} b_{n} \)