\( \cot v = \csc ^ { 2 } v \frac { d } { d x } v \)

A continuación, resolveremos paso a paso la ecuación \[ \cot v = \csc^2 v \frac{d}{dx} v \] **Paso 1. Escribir las funciones en términos de seno y coseno** Recordamos que \[ \cot v = \frac{\cos v}{\sin v} \quad \text{y} \quad \csc v = \frac{1}{\sin v}. \] Entonces, \[ \csc^2 v = \frac{1}{\sin^2 v}. \] **Paso 2. Sustituir en la ecuación original** Reemplazando en la ecuación dada, tenemos \[ \frac{\cos v}{\sin v} = \frac{1}{\sin^2 v}\frac{d}{dx}v. \] **Paso 3. Despejar \(\frac{d}{dx}v\)** Multiplicamos ambos lados de la ecuación por \(\sin^2 v\): \[ \frac{\cos v}{\sin v} \sin^2 v = \frac{d}{dx}v. \] Notamos que \[ \frac{\cos v}{\sin v} \sin^2 v = \cos v \sin v. \] Así, obtenemos \[ \frac{d}{dx}v = \cos v \sin v. \] **Paso 4. Interpretación del resultado** La derivada de \( v \) con respecto a \( x \) es \[ \frac{dv}{dx} = \sin v \cos v. \] Opcionalmente, usando la identidad del ángulo doble \[ \sin 2v = 2 \sin v \cos v, \] podemos escribir la derivada en forma alternativa: \[ \frac{dv}{dx} = \frac{1}{2}\sin 2v. \] **Conclusión** Hemos demostrado que, a partir de la ecuación \[ \cot v = \csc^2 v \frac{d}{dx}v, \] la derivada de \( v \) respecto a \( x \) es \[ \frac{dv}{dx} = \sin v \cos v \quad \text{o} \quad \frac{dv}{dx} = \frac{1}{2}\sin 2v. \]