$$ \cot v = \csc ^ { 2 } v \frac { d } { d x } v $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

A continuación, resolveremos paso a paso la ecuación

$$
\cot v = \csc^2 v \frac{d}{dx} v
$$

**Paso 1. Escribir las funciones en términos de seno y coseno**

Recordamos que

$$
\cot v = \frac{\cos v}{\sin v} \quad \text{y} \quad \csc v = \frac{1}{\sin v}.
$$

Entonces,

$$
\csc^2 v = \frac{1}{\sin^2 v}.
$$

**Paso 2. Sustituir en la ecuación original**

Reemplazando en la ecuación dada, tenemos

$$
\frac{\cos v}{\sin v} = \frac{1}{\sin^2 v}\frac{d}{dx}v.
$$

**Paso 3. Despejar $$\frac{d}{dx}v$$**

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por $$\sin^2 v$$:

$$
\frac{\cos v}{\sin v} \sin^2 v = \frac{d}{dx}v.
$$

Notamos que

$$
\frac{\cos v}{\sin v} \sin^2 v = \cos v \sin v.
$$

Así, obtenemos

$$
\frac{d}{dx}v = \cos v \sin v.
$$

**Paso 4. Interpretación del resultado**

La derivada de $$ v $$ con respecto a $$ x $$ es

$$
\frac{dv}{dx} = \sin v \cos v.
$$

Opcionalmente, usando la identidad del ángulo doble

$$
\sin 2v = 2 \sin v \cos v,
$$

podemos escribir la derivada en forma alternativa:

$$
\frac{dv}{dx} = \frac{1}{2}\sin 2v.
$$

**Conclusión**

Hemos demostrado que, a partir de la ecuación

$$
\cot v = \csc^2 v \frac{d}{dx}v,
$$

la derivada de $$ v $$ respecto a $$ x $$ es

$$
\frac{dv}{dx} = \sin v \cos v \quad \text{o} \quad \frac{dv}{dx} = \frac{1}{2}\sin 2v.
$$
La derivada de $$ v $$ con respecto a $$ x $$ es $$ \frac{dv}{dx} = \sin v \cos v $$ o $$ \frac{dv}{dx} = \frac{1}{2}\sin 2v $$.

\( \cot v = \csc ^ { 2 } v \frac { d } { d x } v \)

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