\( ||x-3|+4|<6 \) eşıtsiziliğini sağlayan kaç farklı tam sayı değeri vardır? \( \begin{array}{llll}\text { A) } 2 & \text { B) } 3 & \text { C) } 4 & \text { D) } 6\end{array} \) E) 7

Verilen eşitsizlik: \[ ||x-3|+4|<6 \] Bu eşitsizliği çözmek için önce içteki mutlak değeri inceleyelim: 1. **İlk adım:** \( ||x-3| + 4| < 6 \) Bu eşitsizliği iki duruma ayırabiliriz: - **Durum 1:** \( |x-3| + 4 < 6 \) - **Durum 2:** \( |x-3| + 4 > -6 \) (Bu durum her zaman doğrudur çünkü mutlak değer her zaman pozitif veya sıfırdır.) Şimdi ilk durumu çözelim: \[ |x-3| + 4 < 6 \] Buradan: \[ |x-3| < 2 \] Bu eşitsizliği çözmek için yine iki duruma ayırıyoruz: - **Durum 1.1:** \( x-3 < 2 \) ve \( x-3 > -2 \) Bu iki durumu çözelim: 1. \( x-3 < 2 \) ⇒ \( x < 5 \) 2. \( x-3 > -2 \) ⇒ \( x > 1 \) Bu durumda: \[ 1 < x < 5 \] Bu aralıkta tam sayılar: 2, 3, 4. Şimdi bu aralığın tam sayılarını sayalım: - 2 - 3 - 4 Toplamda 3 farklı tam sayı değeri vardır. Sonuç olarak, verilen eşitsizliği sağlayan farklı tam sayı değerlerinin sayısı: \[ \text{Cevap: } 3 \] Doğru seçenek: **B) 3**.