$$ y = \frac { x ^ { 2 } + 1 } { x - 1 } - 3 x ; y ^ { \prime \prime } $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Функцияны беріншіден, екінші туындысын табу үшін алдымен $$ y $$ функциясын қарастырайық:

$$
y = \frac{x^2 + 1}{x - 1} - 3x
$$

Бірінші кезекте, $$ y $$ функциясының туындысын табуымыз керек.

1. **Бірінші туынды $$ y' $$**:

Функцияның бірінші туындысын табу үшін, бөлшек функцияның туындысын қолданамыз.

$$
y' = \left( \frac{x^2 + 1}{x - 1} \right)' - (3x)'
$$

Бөлшектің туындысын табу үшін, $$ u = x^2 + 1 $$ және $$ v = x - 1 $$ деп алайық.

$$
y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} - 3
$$

Мұндағы:

- $$ u' = 2x $$
- $$ v' = 1 $$

Осыны формулаға қойсақ:

$$
y' = \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2} - 3
$$

Енді есептейік:

$$
y' = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 1}{(x - 1)^2} - 3
$$

$$
y' = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2} - 3
$$

2. **Екінші туынды $$ y'' $$**:

Енді $$ y' $$ функциясының туындысын табамыз.

$$
y'' = \left( \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2} \right)' - 0
$$

Бөлшектің туындысын тағы да қолданамыз:

$$
y'' = \frac{(2x - 2)(x - 1)^2 - (x^2 - 2x - 1)(2(x - 1))}{(x - 1)^4}
$$

Енді есептейік:

$$
y'' = \frac{(2x - 2)(x^2 - 2x + 1) - (x^2 - 2x - 1)(2x - 2)}{(x - 1)^4}
$$

Осыдан кейін, $$ y'' $$ функциясының мәнін табу үшін, есептеулерді жалғастыру қажет.

Нәтижесінде, $$ y'' $$ функциясының формуласы:

$$
y'' = \frac{(2x - 2)(x^2 - 2x + 1) - (x^2 - 2x - 1)(2x - 2)}{(x - 1)^4}
$$

Осылайша, $$ y'' $$ функциясының туындысын таптық.
$$ y'' = \frac{(2x - 2)(x^2 - 2x + 1) - (x^2 - 2x - 1)(2x - 2)}{(x - 1)^4} $$

\( y = \frac { x ^ { 2 } + 1 } { x - 1 } - 3 x ; y ^ { \prime \prime } \)