Stabilire se le rette: $$ r: y=5 x-6, s: y=21 x+25 $$ sono tangenti alla curva $$ \delta $$ di equazione: $$ y=x^{3}-2 x^{2}+x+1 $$

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Per stabilire se le rette $$ r: y=5x-6 $$ e $$ s: y=21x+25 $$ sono tangenti alla curva $$ \delta $$ di equazione $$ y=x^{3}-2x^{2}+x+1 $$, dobbiamo verificare se le rette toccano la curva in un solo punto.

Per fare ciò, possiamo sostituire le equazioni delle rette nella equazione della curva e verificare se le equazioni risultanti hanno una sola soluzione.

Sostituendo $$ y=5x-6 $$ nella equazione della curva, otteniamo:
$$ 5x-6 = x^{3}-2x^{2}+x+1 $$

Sostituendo $$ y=21x+25 $$ nella equazione della curva, otteniamo:
$$ 21x+25 = x^{3}-2x^{2}+x+1 $$

Ora, dobbiamo risolvere queste equazioni per verificare se hanno una sola soluzione.

Risolveremo queste equazioni separatamente.
Solve the equation by following steps:
- step0: Solve for $$x$$:
  $$5x-6=x^{3}-2x^{2}+x+1$$
- step1: Move the expression to the left side:
  $$5x-6-\left(x^{3}-2x^{2}+x+1\right)=0$$
- step2: Subtract the terms:
  $$4x-7-x^{3}+2x^{2}=0$$
- step3: Calculate:
  $$\begin{align}&x\approx -1.935432\&x\approx 1.462598\&x\approx 2.472834\end{align}$$
- step4: Rewrite:
  $$x_{1}\approx -1.935432,x_{2}\approx 1.462598,x_{3}\approx 2.472834$$
La prima equazione $$ 5x-6 = x^{3}-2x^{2}+x+1 $$ ha tre soluzioni diverse: $$ x_{1} \approx -1.935432 $$, $$ x_{2} \approx 1.462598 $$ e $$ x_{3} \approx 2.472834 $$.

Ora, risolveremo la seconda equazione.
Solve the equation by following steps:
- step0: Solve for $$x$$:
  $$21x+25=x^{3}-2x^{2}+x+1$$
- step1: Move the expression to the left side:
  $$21x+25-\left(x^{3}-2x^{2}+x+1\right)=0$$
- step2: Calculate:
  $$20x+24-x^{3}+2x^{2}=0$$
- step3: Factor the expression:
  $$\left(6-x\right)\left(2+x\right)^{2}=0$$
- step4: Separate into possible cases:
  $$\begin{align}&6-x=0\&\left(2+x\right)^{2}=0\end{align}$$
- step5: Solve the equation:
  $$\begin{align}&x=6\&x=-2\end{align}$$
- step6: Rewrite:
  $$x_{1}=-2,x_{2}=6$$
La seconda equazione $$ 21x+25 = x^{3}-2x^{2}+x+1 $$ ha due soluzioni diverse: $$ x_{1} = -2 $$ e $$ x_{2} = 6 $$.

Dalle risoluzioni, possiamo vedere che la prima equazione ha tre soluzioni diverse, mentre la seconda equazione ha due soluzioni diverse. Ciò significa che le rette $$ r: y=5x-6 $$ e $$ s: y=21x+25 $$ non sono tangenti alla curva $$ \delta $$ di equazione $$ y=x^{3}-2x^{2}+x+1 $$ in un solo punto.
Le rette $$ r: y=5x-6 $$ e $$ s: y=21x+25 $$ non sono tangenti alla curva $$ \delta $$ di equazione $$ y=x^{3}-2x^{2}+x+1 $$ in un solo punto.

Stabilire se le rette: \[ r: y=5 x-6, s: y=21 x+25 \] sono tangenti alla curva \( \delta \) di equazione: \[ y=x^{3}-2 x^{2}+x+1 \]

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