Stabilire se le rette: \[ r: y=5 x-6, s: y=21 x+25 \] sono tangenti alla curva \( \delta \) di equazione: \[ y=x^{3}-2 x^{2}+x+1 \]

Per stabilire se le rette \( r \) e \( s \) sono tangenti alla curva \( \delta \), dobbiamo considerare la derivata della funzione della curva. La derivata prima di \( y = x^3 - 2x^2 + x + 1 \) è \( y' = 3x^2 - 4x + 1 \). Per la retta \( r: y = 5x - 6 \), il coefficiente angolare è 5. Dobbiamo risolvere \( 3x^2 - 4x + 1 = 5 \) per cercare i punti di tangente. Risolvendo l'equazione \( 3x^2 - 4x - 4 = 0 \), troviamo il discriminante \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 \), quindi ci sono due soluzioni, e dunque la retta non è tangente. Per la retta \( s: y = 21x + 25 \), seguiamo un processo simile: impostiamo \( 3x^2 - 4x + 1 = 21 \), che si traduce in \( 3x^2 - 4x - 20 = 0 \). Qui il discriminante è \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 16 + 240 = 256 \), quindi anche questa retta non è tangente. In conclusione, nessuna delle due rette è tangente alla curva \( \delta \).