Exercice 9 Le loyer annuel d'un appartement coûte l'entrée dans les lieux en 2018 . Chaque loyer annuel augmente de \( 2 \% \). 1. Quel sera la valeur du loyer en 2019 2021 ? 2. Modéliser l'évolution du loyer annu suite \( \left(u_{n}\right) \) en prenant \( u_{0} \) pour prem 3. Justifier que \( \left(u_{n}\right) \) est une suite géo termes positifs dont on précisera la 4. Quel sera la valeur du loyer en 202 5. Quel est le sens de variation de ce

1. En 2019, le loyer sera : \[ u_1 = u_0 \times 1{,}02. \] En 2021, puisqu'on compte les augmentations annuelles à partir de 2018 (année de \( u_0 \)), on a effectué 3 augmentations (2019, 2020 et 2021) : \[ u_3 = u_0 \times 1{,}02^3. \] 2. La modélisation de l’évolution du loyer annuel par la suite \( \left(u_{n}\right) \), en prenant \( u_0 \) pour le loyer en 2018, s’écrit : \[ u_n = u_0 \times 1{,}02^n. \] 3. La suite \( \left(u_{n}\right) \) est géométrique car on constate que : \[ u_{n+1} = u_0 \times 1{,}02^{n+1} = 1{,}02 \times \left(u_0 \times 1{,}02^n\right) = 1{,}02 \times u_n. \] Ainsi, la raison de cette suite est \( q = 1{,}02 \) et, puisque \( u_0 > 0 \) et \( 1{,}02 > 0 \), tous ses termes sont positifs. 4. Si l’on considère que 2018 correspond à \( n=0 \), alors l’année 2022 correspond à \( n=4 \). Le loyer en 2022 sera donc : \[ u_4 = u_0 \times 1{,}02^4. \] 5. Comme la raison \( 1{,}02 \) est supérieure à 1, la suite \( \left(u_{n}\right) \) est strictement croissante. Cela signifie que le loyer augmente chaque année.