Exercice 9 Le loyer annuel d'un appartement coûte l'entrée dans les lieux en 2018 . Chaque loyer annuel augmente de $$ 2 \% $$. 1. Quel sera la valeur du loyer en 2019 2021 ? 2. Modéliser l'évolution du loyer annu suite $$ \left(u_{n}\right) $$ en prenant $$ u_{0} $$ pour prem 3. Justifier que $$ \left(u_{n}\right) $$ est une suite géo termes positifs dont on précisera la 4. Quel sera la valeur du loyer en 202 5. Quel est le sens de variation de ce

Question

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1. En 2019, le loyer sera :
   
   $$
   u_1 = u_0 \times 1{,}02.
   $$
   
   En 2021, puisqu'on compte les augmentations annuelles à partir de 2018 (année de $$ u_0 $$), on a effectué 3 augmentations (2019, 2020 et 2021) :
   
   $$
   u_3 = u_0 \times 1{,}02^3.
   $$

2. La modélisation de l’évolution du loyer annuel par la suite $$ \left(u_{n}\right) $$, en prenant $$ u_0 $$ pour le loyer en 2018, s’écrit :

$$
   u_n = u_0 \times 1{,}02^n.
   $$

3. La suite $$ \left(u_{n}\right) $$ est géométrique car on constate que :
   
   $$
   u_{n+1} = u_0 \times 1{,}02^{n+1} = 1{,}02 \times \left(u_0 \times 1{,}02^n\right) = 1{,}02 \times u_n.
   $$
   
   Ainsi, la raison de cette suite est $$ q = 1{,}02 $$ et, puisque $$ u_0 > 0 $$ et $$ 1{,}02 > 0 $$, tous ses termes sont positifs.

4. Si l’on considère que 2018 correspond à $$ n=0 $$, alors l’année 2022 correspond à $$ n=4 $$. Le loyer en 2022 sera donc :

$$
   u_4 = u_0 \times 1{,}02^4.
   $$

5. Comme la raison $$ 1{,}02 $$ est supérieure à 1, la suite $$ \left(u_{n}\right) $$ est strictement croissante. Cela signifie que le loyer augmente chaque année.
1. En 2019, le loyer sera $$ u_0 \times 1{,}02 $$. En 2021, il sera $$ u_0 \times 1{,}02^3 $$. 2. La suite des loyers est $$ u_n = u_0 \times 1{,}02^n $$. 3. C'est une suite géométrique croissante avec une raison de 1,02 et tous les termes sont positifs. 4. Le loyer en 2022 sera $$ u_0 \times 1{,}02^4 $$. 5. Le loyer augmente chaque année car la suite est croissante.

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