36. Obtenga un valor de \( k \) tal que sean perpen diculares las rectas cuyas ecuaciones so \( 3 k x+8 y=5 \) y \( 6 y-4 k x=-1 \)

Para que dos rectas sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser igual a -1. Primero, pongamos las ecuaciones en su forma de pendiente-intersección (y = mx + b). De la primera ecuación \( 3k x + 8y = 5 \): \[ 8y = -3k x + 5 \] \[ y = -\frac{3k}{8} x + \frac{5}{8} \] Por lo tanto, la pendiente \( m_1 = -\frac{3k}{8} \). De la segunda ecuación \( 6y - 4k x = -1 \): \[ 6y = 4k x - 1 \] \[ y = \frac{4k}{6} x - \frac{1}{6} \] \[ y = \frac{2k}{3} x - \frac{1}{6} \] Por lo tanto, la pendiente \( m_2 = \frac{2k}{3} \). Igualando el producto de las pendientes a -1: \[ m_1 \cdot m_2 = -1 \] \[ \left(-\frac{3k}{8}\right) \cdot \left(\frac{2k}{3}\right) = -1 \] Simplificando: \[ -\frac{6k^2}{24} = -1 \] \[ \frac{6k^2}{24} = 1 \] \[ \frac{k^2}{4} = 1 \] Multiplicando ambos lados por 4: \[ k^2 = 4 \] Por lo tanto, tenemos dos soluciones: \[ k = 2 \quad \text{o} \quad k = -2 \]