36. Obtenga un valor de $$ k $$ tal que sean perpen diculares las rectas cuyas ecuaciones so $$ 3 k x+8 y=5 $$ y $$ 6 y-4 k x=-1 $$

Question

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Para determinar el valor de $$ k $$ que hace que las rectas dadas sean perpendiculares, primero necesitamos encontrar las pendientes de ambas rectas.

Las ecuaciones de las rectas son:

1. $$ 3k x + 8y = 5 $$
2. $$ 6y - 4k x = -1 $$

### Paso 1: Encontrar la pendiente de la primera recta

Reescribimos la primera ecuación en la forma $$ y = mx + b $$:

$$
8y = -3k x + 5
$$
$$
y = -\frac{3k}{8} x + \frac{5}{8}
$$

La pendiente $$ m_1 $$ de la primera recta es:

$$
m_1 = -\frac{3k}{8}
$$

### Paso 2: Encontrar la pendiente de la segunda recta

Reescribimos la segunda ecuación en la forma $$ y = mx + b $$:

$$
6y = 4k x - 1
$$
$$
y = \frac{4k}{6} x - \frac{1}{6}
$$
$$
y = \frac{2k}{3} x - \frac{1}{6}
$$

La pendiente $$ m_2 $$ de la segunda recta es:

$$
m_2 = \frac{2k}{3}
$$

### Paso 3: Condición de perpendicularidad

Para que dos rectas sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser igual a $$-1$$:

$$
m_1 \cdot m_2 = -1
$$

Sustituyendo las pendientes:

$$
\left(-\frac{3k}{8}\right) \cdot \left(\frac{2k}{3}\right) = -1
$$

### Paso 4: Resolver la ecuación

Multiplicamos y simplificamos:

$$
-\frac{3k \cdot 2k}{8 \cdot 3} = -1
$$
$$
-\frac{6k^2}{24} = -1
$$
$$
\frac{6k^2}{24} = 1
$$
$$
\frac{k^2}{4} = 1
$$

Multiplicamos ambos lados por 4:

$$
k^2 = 4
$$

Tomamos la raíz cuadrada:

$$
k = 2 \quad \text{o} \quad k = -2
$$

### Respuesta

Los valores de $$ k $$ que hacen que las rectas sean perpendiculares son $$ k = 2 $$ y $$ k = -2 $$.
Los valores de $$ k $$ que hacen que las rectas sean perpendiculares son $$ k = 2 $$ y $$ k = -2 $$.

36. Obtenga un valor de \( k \) tal que sean perpen diculares las rectas cuyas ecuaciones so \( 3 k x+8 y=5 \) y \( 6 y-4 k x=-1 \)

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