9. Bei gewissen Untersuchungen wird Patienten radioaktives lod gegeben, das so zerfallt, dass die vorhandene Menge nach jeweils (etwa) 8 Tagen auf die Hälfte zurückgeht. Nach wie viel Tagen sind noch \( \begin{array}{llll}\text { (1) } 10 \% \text {; } & \text { (2) } 1 \% \text {; } & \text { (3) } 2 \% \text {; } \\ \text { der Anfangsdosis vorhanden? }\end{array} \)

1. Es gilt das Zerfallsgesetz \[ A(t)=A_0\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{8}}, \] wobei \(A_0\) die Anfangsdosis und \(A(t)\) die nach \(t\) Tagen noch vorhandene Menge ist. 2. Gesucht ist die Zeit \(t\), sodass der Anteil \(p\) der Anfangsdosis übrigbleibt, also \[ \frac{A(t)}{A_0}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{8}}=p. \] 3. Zur Bestimmung von \(t\) nehmen wir den natürlichen Logarithmus beider Seiten: \[ \ln\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{8}}\right]=\ln(p). \] Mit der Logarithmuseigenschaft erhalten wir: \[ \frac{t}{8}\ln\left(\frac{1}{2}\right)=\ln(p). \] 4. Lösen nach \(t\): \[ t = \frac{8\,\ln(p)}{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}. \] Da \[ \ln\left(\frac{1}{2}\right)=-\ln(2), \] folgt: \[ t = -\frac{8\,\ln(p)}{\ln(2)}. \] 5. Jetzt berechnen wir \(t\) für die einzelnen Prozentzahlen: (1) Für \(p=10\% = 0{,}10\): \[ t = -\frac{8\,\ln(0{,}10)}{\ln(2)}. \] Da \(\ln(0{,}10)\approx -2{,}3026\) und \(\ln(2)\approx 0{,}6931\), erhalten wir: \[ t \approx -\frac{8\times (-2{,}3026)}{0{,}6931} \approx \frac{18{,}4208}{0{,}6931}\approx 26{,}58\text{ Tage}. \] (2) Für \(p=1\% = 0{,}01\): \[ t = -\frac{8\,\ln(0{,}01)}{\ln(2)}. \] Da \(\ln(0{,}01)\approx -4{,}6052\), ist: \[ t \approx -\frac{8\times (-4{,}6052)}{0{,}6931}\approx \frac{36{,}8416}{0{,}6931}\approx 53{,}15\text{ Tage}. \] (3) Für \(p=2\% = 0{,}02\): \[ t = -\frac{8\,\ln(0{,}02)}{\ln(2)}. \] Mit \(\ln(0{,}02)\approx -3{,}9120\) erhalten wir: \[ t \approx -\frac{8\times (-3{,}9120)}{0{,}6931}\approx \frac{31{,}296}{0{,}6931}\approx 45{,}16\text{ Tage}. \] 6. Somit lauten die Ergebnisse: - (1) Für \(10\%\) der Anfangsdosis: ca. \(26{,}58\) Tage. - (2) Für \(1\%\) der Anfangsdosis: ca. \(53{,}15\) Tage. - (3) Für \(2\%\) der Anfangsdosis: ca. \(45{,}16\) Tage.