9. Bei gewissen Untersuchungen wird Patienten radioaktives lod gegeben, das so zerfallt, dass die vorhandene Menge nach jeweils (etwa) 8 Tagen auf die Hälfte zurückgeht. Nach wie viel Tagen sind noch $$ \begin{array}{llll} ext { (1) } 10 \% ext {; } & ext { (2) } 1 \% ext {; } & ext { (3) } 2 \% ext {; } \ ext { der Anfangsdosis vorhanden? }\end{array} $$

Question

9. Bei gewissen Untersuchungen wird Patienten radioaktives lod gegeben, das so zerfallt, dass die vorhandene Menge nach jeweils (etwa) 8 Tagen auf die Hälfte zurückgeht. Nach wie viel Tagen sind noch $$ \begin{array}{llll}	ext { (1) } 10 \% 	ext {; } & 	ext { (2) } 1 \% 	ext {; } & 	ext { (3) } 2 \% 	ext {; } \ 	ext { der Anfangsdosis vorhanden? }\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Es gilt das Zerfallsgesetz  
   $$
   A(t)=A_0\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{8}},
   $$
   wobei $$A_0$$ die Anfangsdosis und $$A(t)$$ die nach $$t$$ Tagen noch vorhandene Menge ist.

2. Gesucht ist die Zeit $$t$$, sodass der Anteil $$p$$ der Anfangsdosis übrigbleibt, also  
   $$
   \frac{A(t)}{A_0}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{8}}=p.
   $$

3. Zur Bestimmung von $$t$$ nehmen wir den natürlichen Logarithmus beider Seiten:
   $$
   \ln\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{8}}\right]=\ln(p).
   $$
   Mit der Logarithmuseigenschaft erhalten wir:
   $$
   \frac{t}{8}\ln\left(\frac{1}{2}\right)=\ln(p).
   $$

4. Lösen nach $$t$$:
   $$
   t = \frac{8\,\ln(p)}{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}.
   $$
   Da  
   $$
   \ln\left(\frac{1}{2}\right)=-\ln(2),
   $$
   folgt:
   $$
   t = -\frac{8\,\ln(p)}{\ln(2)}.
   $$

5. Jetzt berechnen wir $$t$$ für die einzelnen Prozentzahlen:

(1) Für $$p=10\% = 0{,}10$$:
   $$
   t = -\frac{8\,\ln(0{,}10)}{\ln(2)}.
   $$
   Da $$\ln(0{,}10)\approx -2{,}3026$$ und $$\ln(2)\approx 0{,}6931$$, erhalten wir:
   $$
   t \approx -\frac{8\times (-2{,}3026)}{0{,}6931} \approx \frac{18{,}4208}{0{,}6931}\approx 26{,}58\text{ Tage}.
   $$

(2) Für $$p=1\% = 0{,}01$$:
   $$
   t = -\frac{8\,\ln(0{,}01)}{\ln(2)}.
   $$
   Da $$\ln(0{,}01)\approx -4{,}6052$$, ist:
   $$
   t \approx -\frac{8\times (-4{,}6052)}{0{,}6931}\approx \frac{36{,}8416}{0{,}6931}\approx 53{,}15\text{ Tage}.
   $$

(3) Für $$p=2\% = 0{,}02$$:
   $$
   t = -\frac{8\,\ln(0{,}02)}{\ln(2)}.
   $$
   Mit $$\ln(0{,}02)\approx -3{,}9120$$ erhalten wir:
   $$
   t \approx -\frac{8\times (-3{,}9120)}{0{,}6931}\approx \frac{31{,}296}{0{,}6931}\approx 45{,}16\text{ Tage}.
   $$

6. Somit lauten die Ergebnisse:
   - (1) Für $$10\%$$ der Anfangsdosis: ca. $$26{,}58$$ Tage.
   - (2) Für $$1\%$$ der Anfangsdosis: ca. $$53{,}15$$ Tage.
   - (3) Für $$2\%$$ der Anfangsdosis: ca. $$45{,}16$$ Tage.
For 10% of the initial dose, it takes approximately 26.58 days. For 1% of the initial dose, it takes about 53.15 days. For 2% of the initial dose, it takes roughly 45.16 days.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

Extra Insights

preguntas relacionadas

Latest Chemistry Questions