TD 2 : Généralités sur les anneaux et corps Exercice 1. Montrer que l'ensemble des matrices carrées de taille $$ n $$ sur un corps $$ K $$ (noté $$ \mathcal{M}_{n}(K) $$ ) forme un anneau non commutatif pour l'addition et la multiplication usuelles. Exercice 2. Soit $$ A=\left\{a+b \sqrt{2} \mid(a, b) \in \mathbb{Z}^{2}\right\} $$. Montrer que $$ A $$, muni de l'addition et la multiplica- tion usuelles, est un anneau. Exercice 3. On considère l'ensemble $$ \mathbb{Q}(i) \subset \mathbb{C} $$, défini par $$ \mathbb{Q}(i)=\left\{x+i y \mid(x, y) \in \mathbb{Q}^{2}\right\} $$ où $$ i $$ est le nombre complexe vérifiant $$ i^{2}=-1 $$. On munit $$ \mathbb{Q}(i) $$ des lois d'addition et multiplica- tion obtenues par restriction de celles de $$ \mathbb{C} $$. Montrer que $$ (\mathbb{Q}(i),+, \cdot) $$ est un corps. Exercice 4. Soit $$ j=e^{i \frac{2 \pi}{3}} $$. Soit $$ A=\left\{a+b j+c j^{2} \mid(a, b, c) \in \mathbb{Z}^{3}\right\} \subset \mathbb{C} $$. Montrer que $$ (A,+, \cdot) $$ est un anneau.

Question

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### Exercice 1

Pour montrer que l'ensemble des matrices carrées de taille $$ n $$ sur un corps $$ K $$ (noté $$ \mathcal{M}_{n}(K) $$) forme un anneau non commutatif pour l'addition et la multiplication usuelles, nous devons vérifier les propriétés suivantes :

1. **Fermeture pour l'addition** : Soit $$ M_1, M_2 \in \mathcal{M}_{n}(K) $$. Alors $$ M_1 + M_2 $$ est également une matrice de taille $$ n $$ sur $$ K $$.

2. **Associativité de l'addition** : Pour toutes matrices $$ M_1, M_2, M_3 \in \mathcal{M}_{n}(K) $$, nous avons $$ (M_1 + M_2) + M_3 = M_1 + (M_2 + M_3) $$.

3. **Existence d'un élément neutre pour l'addition** : La matrice nulle $$ 0 $$ est l'élément neutre pour l'addition, car $$ M + 0 = M $$ pour toute matrice $$ M $$.

4. **Existence d'inverses pour l'addition** : Pour chaque matrice $$ M $$, il existe une matrice $$ -M $$ telle que $$ M + (-M) = 0 $$.

5. **Fermeture pour la multiplication** : Soit $$ M_1, M_2 \in \mathcal{M}_{n}(K) $$. Alors $$ M_1 \cdot M_2 $$ est également une matrice de taille $$ n $$ sur $$ K $$.

6. **Associativité de la multiplication** : Pour toutes matrices $$ M_1, M_2, M_3 \in \mathcal{M}_{n}(K) $$, nous avons $$ (M_1 \cdot M_2) \cdot M_3 = M_1 \cdot (M_2 \cdot M_3) $$.

7. **Distributivité** : Pour toutes matrices $$ M_1, M_2, M_3 \in \mathcal{M}_{n}(K) $$, nous avons $$ M_1 \cdot (M_2 + M_3) = M_1 \cdot M_2 + M_1 \cdot M_3 $$ et $$ (M_1 + M_2) \cdot M_3 = M_1 \cdot M_3 + M_2 \cdot M_3 $$.

8. **Non commutativité** : En général, pour des matrices $$ M_1 $$ et $$ M_2 $$, il n'est pas vrai que $$ M_1 \cdot M_2 = M_2 \cdot M_1 $$.

Ainsi, $$ \mathcal{M}_{n}(K) $$ est un anneau non commutatif.

### Exercice 2

Soit $$ A=\{a+b \sqrt{2} \mid (a, b) \in \mathbb{Z}^{2}\} $$. Nous allons montrer que $$ A $$, muni de l'addition et de la multiplication usuelles, est un anneau.

1. **Fermeture pour l'addition** : Soit $$ x = a_1 + b_1 \sqrt{2} $$ et $$ y = a_2 + b_2 \sqrt{2} $$ dans $$ A $$. Alors,
   $$
   x + y = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) \sqrt{2}
   $$
   où $$ a_1 + a_2 \in \mathbb{Z} $$ et $$ b_1 + b_2 \in \mathbb{Z} $$, donc $$ x + y \in A $$.

2. **Fermeture pour la multiplication** : 
   $$
   x \cdot y = (a_1 + b_1 \sqrt{2})(a_2 + b_2 \sqrt{2}) = a_1 a_2 + (a_1 b_2 + a_2 b_1) \sqrt{2} + b_1 b_2 \cdot 2
   $$
   Ce qui donne :
   $$
   x \cdot y = (a_1 a_2 + 2 b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1) \sqrt{2}
   $$
   où $$ a_1 a_2 + 2 b_1 b_2 \in \mathbb{Z} $$ et $$ a_1 b_2 + a_2 b_1 \in \mathbb{Z} $$, donc $$ x \cdot y \in A $$.

3. **Existence d'un élément neutre** : L'élément neutre pour l'addition est $$ 0 + 0\sqrt{2} = 0 $$ et pour la multiplication, c'est $$ 1 + 0\sqrt{2} = 1 $$.

4. **Existence d'inverses** : Pour chaque $$ x = a + b\sqrt{2} $$, l'inverse additif est $$ -a - b\sqrt{2} $$. Pour l'inverse multiplicatif, si $$ x \neq 0 $$, on peut montrer qu'il existe un $$ y \in A $$ tel que $$ x \cdot y = 1 $$.

Ainsi, $$ A $$ est un anneau.

### Exercice 3

Pour montrer que $$ (\mathbb{Q}(i), +, \cdot) $$ est un corps, nous devons vérifier les propriétés suivantes :

1. **Fermeture pour l'addition** : Soit $$ z_1 = x_1 + iy_1 $$ et $$ z_2 = x_2 + iy_2 $$ avec $$ x_1, y_1, x_2, y_2 \in \mathbb{Q} $$. Alors,
   $$
   z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)
   $$
   où $$ x_1 + x_2, y_1 + y_2 \in \mathbb{Q} $$.

2. **Fermeture pour la multiplication** : 
   $$
   z_1 \cdot z_2 = (x_1 + iy_1)(x_2 + iy_2) = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + i(x_1 y_2 + y_1 x_2)
   $$
   où $$ x_1 x_2 - y_1 y_2, x_1 y_2 + y_1 x_
### Exercice 1 L'ensemble des matrices carrées de taille $$ n $$ sur un corps $$ K $$ forme un anneau non commutatif pour l'addition et la multiplication usuelles car il respecte toutes les propriétés d'un anneau et la multiplication n'est pas commutative en général. ### Exercice 2 L'ensemble $$ A = \{a + b\sqrt{2} \mid (a, b) \in \mathbb{Z}^2\} $$ est un anneau pour l'addition et la multiplication usuelles car il est fermé sous ces opérations, possède un élément neutre, et chaque élément a un inverse additif. ### Exercice 3 L'ensemble $$ \mathbb{Q}(i) = \{x + iy \mid (x, y) \in \mathbb{Q}^2\} $$ est un corps pour l'addition et la multiplication usuelles car il est fermé sous ces opérations, possède un élément neutre, chaque élément a un inverse additif et multiplicatif. ### Exercice 4 L'ensemble $$ A = \{a + b j + c j^2 \mid (a, b, c) \in \mathbb{Z}^3\} $$ est un anneau pour l'addition et la multiplication usuelles car il est fermé sous ces opérations et possède un élément neutre pour l'addition.

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