TD 2 : Généralités sur les anneaux et corps Exercice 1. Montrer que l'ensemble des matrices carrées de taille \( n \) sur un corps \( K \) (noté \( \mathcal{M}_{n}(K) \) ) forme un anneau non commutatif pour l'addition et la multiplication usuelles. Exercice 2. Soit \( A=\left\{a+b \sqrt{2} \mid(a, b) \in \mathbb{Z}^{2}\right\} \). Montrer que \( A \), muni de l'addition et la multiplica- tion usuelles, est un anneau. Exercice 3. On considère l'ensemble \( \mathbb{Q}(i) \subset \mathbb{C} \), défini par \[ \mathbb{Q}(i)=\left\{x+i y \mid(x, y) \in \mathbb{Q}^{2}\right\} \] où \( i \) est le nombre complexe vérifiant \( i^{2}=-1 \). On munit \( \mathbb{Q}(i) \) des lois d'addition et multiplica- tion obtenues par restriction de celles de \( \mathbb{C} \). Montrer que \( (\mathbb{Q}(i),+, \cdot) \) est un corps. Exercice 4. Soit \( j=e^{i \frac{2 \pi}{3}} \). Soit \( A=\left\{a+b j+c j^{2} \mid(a, b, c) \in \mathbb{Z}^{3}\right\} \subset \mathbb{C} \). Montrer que \( (A,+, \cdot) \) est un anneau.

### Exercice 1 L'ensemble des matrices carrées de taille \( n \) sur un corps \( K \) forme un anneau non commutatif pour l'addition et la multiplication usuelles car il respecte toutes les propriétés d'un anneau et la multiplication n'est pas commutative en général. ### Exercice 2 L'ensemble \( A = \{a + b\sqrt{2} \mid (a, b) \in \mathbb{Z}^2\} \) est un anneau pour l'addition et la multiplication usuelles car il est fermé sous ces opérations, possède un élément neutre, et chaque élément a un inverse additif. ### Exercice 3 L'ensemble \( \mathbb{Q}(i) = \{x + iy \mid (x, y) \in \mathbb{Q}^2\} \) est un corps pour l'addition et la multiplication usuelles car il est fermé sous ces opérations, possède un élément neutre, chaque élément a un inverse additif et multiplicatif. ### Exercice 4 L'ensemble \( A = \{a + b j + c j^2 \mid (a, b, c) \in \mathbb{Z}^3\} \) est un anneau pour l'addition et la multiplication usuelles car il est fermé sous ces opérations et possède un élément neutre pour l'addition.