2. Halla dos radicales equivalentes a cada radical. \( \begin{array}{ll}\text { a. } \sqrt[4]{5 x} & \text { b. } \sqrt[8]{(7 d)^{22}} \\ \text { c. }(27 h)^{\frac{6}{7}} & \text { d. } 56^{\frac{1}{3}} \\ \text { e. } \sqrt[26]{\left(\frac{g}{2}\right)^{4}} & \text { f. }\left(\frac{8}{5}\right)^{\frac{3}{9}}\end{array} \)

a) Para \( \sqrt[4]{5x} \): - Escribimos el radical en forma de exponente: \[ \sqrt[4]{5x} = (5x)^{\frac{1}{4}} \] - También se puede separar el radical: \[ \sqrt[4]{5x} = \sqrt[4]{5}\,\sqrt[4]{x} \] --- b) Para \( \sqrt[8]{(7d)^{22}} \): - Expresamos en forma de exponente racional: \[ \sqrt[8]{(7d)^{22}} = (7d)^{\frac{22}{8}} = (7d)^{\frac{11}{4}} \] - Usando la propiedad de los radicales: \[ (7d)^{\frac{11}{4}} = \sqrt[4]{(7d)^{11}} \] --- c) Para \( (27h)^{\frac{6}{7}} \): - Se puede escribir como radical elevado a una potencia: \[ (27h)^{\frac{6}{7}} = \sqrt[7]{(27h)^6} \] - O también como: \[ (27h)^{\frac{6}{7}} = \left(\sqrt[7]{27h}\right)^6 \] - (Opcionalmente, recordando que \(27 = 3^3\), se tiene que \(27^{\frac{6}{7}} = 3^{\frac{18}{7}}\), pero la forma anterior es igualmente válida.) --- d) Para \( 56^{\frac{1}{3}} \): - Escribiendo en forma de radical: \[ 56^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{56} \] - Factorizando \(56 = 8 \times 7\) y aprovechando que \( \sqrt[3]{8} = 2\): \[ \sqrt[3]{56} = \sqrt[3]{8 \cdot 7} = \sqrt[3]{8}\,\sqrt[3]{7} = 2\sqrt[3]{7} \] --- e) Para \( \sqrt[26]{\left(\frac{g}{2}\right)^{4}} \): - Convertimos a exponente racional: \[ \sqrt[26]{\left(\frac{g}{2}\right)^{4}} = \left(\frac{g}{2}\right)^{\frac{4}{26}} = \left(\frac{g}{2}\right)^{\frac{2}{13}} \] - También se puede escribir en forma de radical: \[ \left(\frac{g}{2}\right)^{\frac{2}{13}} = \sqrt[13]{\left(\frac{g}{2}\right)^2} \] --- f) Para \( \left(\frac{8}{5}\right)^{\frac{3}{9}} \): - Simplificamos el exponente: \[ \frac{3}{9} = \frac{1}{3}, \quad \text{por lo que} \quad \left(\frac{8}{5}\right)^{\frac{3}{9}} = \left(\frac{8}{5}\right)^{\frac{1}{3}} \] - En forma de radical: \[ \left(\frac{8}{5}\right)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{8}{5}} \] - Además, separando numerador y denominador (recordando que \(8^{\frac{1}{3}} = 2\)): \[ \sqrt[3]{\frac{8}{5}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{5}} = \frac{2}{\sqrt[3]{5}} \]