gunta 2 esponder jje de 2 halar con ra la to Para obtener \( \int \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^{2}} d x \) se utiliza el método de cambio de variable. ¿Cuál función debe elegirse como u? Seleccione una: a. \( (1+\sqrt{x})^{2} \) b. \( \sqrt{x} \) C. \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) d. \( 1+\sqrt{x} \)

Para resolver la integral \( \int \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^{2}} d x \) utilizando el método de cambio de variable, debemos elegir una función que simplifique la expresión al realizar la sustitución. Observemos la integral: \[ \int \frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^{2}} d x \] La presencia de \( \sqrt{x} \) y \( (1+\sqrt{x})^{2} \) sugiere que una buena elección para \( u \) podría ser \( 1+\sqrt{x} \). Esto se debe a que al derivar \( u \), obtendremos una relación directa con \( \sqrt{x} \), lo que facilitará la sustitución. Si elegimos: \[ u = 1 + \sqrt{x} \] Entonces, al derivar \( u \): \[ du = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx \quad \Rightarrow \quad dx = 2\sqrt{x} \, du \] Sustituyendo \( \sqrt{x} = u - 1 \) en la expresión de \( dx \): \[ dx = 2(u - 1) \, du \] Esto simplificará la integral considerablemente. Por lo tanto, la respuesta correcta es: **d. \( 1+\sqrt{x} \)**