2. Considere la función $$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & ext { si } 3

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2. Considere la función $$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & 	ext { si } 3

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Para probar que la función $$ f(x) $$ es integrable en el intervalo $$ [0, 10] $$, utilizaremos el criterio de integrabilidad de Lebesgue, que establece que una función es integrable si es acotada y su conjunto de discontinuidades tiene medida cero.

1. **Definición de la función**:
   La función $$ f(x) $$ está definida como:
   $$
   f(x) = \begin{cases}
   1, & \text{si } 3 < x < 6 \
   0, & \text{en otro caso}
   \end{cases}
   $$

2. **Comportamiento de la función**:
   - En el intervalo $$ (3, 6) $$, la función toma el valor 1.
   - En el resto del intervalo $$ [0, 10] $$, la función toma el valor 0.

3. **Conjunto de discontinuidades**:
   La función $$ f(x) $$ es continua en todos los puntos de $$ [0, 10] $$ excepto en los puntos $$ x = 3 $$ y $$ x = 6 $$. Estos son los únicos puntos donde la función cambia de valor. Por lo tanto, el conjunto de discontinuidades es $$ \{3, 6\} $$, que tiene medida cero.

4. **Acotación de la función**:
   La función $$ f(x) $$ está acotada, ya que toma solo los valores 0 y 1. Por lo tanto, podemos decir que:
   $$
   0 \leq f(x) \leq 1 \quad \text{para todo } x \in [0, 10]
   $$

5. **Conclusión**:
   Dado que $$ f(x) $$ es acotada y su conjunto de discontinuidades tiene medida cero, podemos concluir que $$ f(x) $$ es integrable en el intervalo $$ [0, 10] $$.

Por lo tanto, hemos probado que la función $$ f $$ es integrable en $$ [0, 10] $$.
La función $$ f(x) $$ es integrable en $$ [0, 10] $$ porque es acotada y su conjunto de discontinuidades (solo en $$ x = 3 $$ y $$ x = 6 $$) tiene medida cero.

2. Considere la función \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & \text { si } 3

Ask by Johnston Bernard. in Mexico

Feb 22,2025

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