9. Una empresa distribuidora necesita calcular el tiempo necesario para entregar una cantidad especíica de productos a varios puntos de venta. El tiempo de entrega depende de la distancia al punto de venta, la cantidad de productos, el número de vehículos disponibles y la velocidad promedio de los vehículos. Si la empresa tarda 20 días en entregar 5000 productos a un punto de venta que se encuentra a 300 km de distancia, utilizando 10 vehículos con una velocidad promedio de $$ 60 \mathrm{~km} / \mathrm{h} $$, icuánto tiempo tardará en entregar 6000 productos a un punto de venta que se encuentra a 450 km de distancia, utilizando 15 vehículos con una velocidad promedio de $$ 50 \mathrm{~km} / \mathrm{h} $$ ?

Question

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Sean los siguientes parámetros:

- $$ T $$: tiempo en días.
- $$ C $$: cantidad de productos.
- $$ d $$: distancia en km.
- $$ n $$: número de vehículos.
- $$ v $$: velocidad promedio en km/h.

Planteamos que $$ T $$ es directamente proporcional a $$ C $$ y $$ d $$ y es inversamente proporcional a $$ n $$ y $$ v $$. Es decir:

$$
T = k \cdot \frac{C \cdot d}{n \cdot v}
$$

donde $$ k $$ es una constante de proporcionalidad.

**Paso 1. Determinar $$ k $$ con la primera situación.**

Dado que:
- $$ T = 20 $$ días.
- $$ C = 5000 $$ productos.
- $$ d = 300 $$ km.
- $$ n = 10 $$ vehículos.
- $$ v = 60 $$ km/h.

Sustituimos en la fórmula:

$$
20 = k \cdot \frac{5000 \cdot 300}{10 \cdot 60}
$$

Calculamos el numerador y denominador:

$$
5000 \cdot 300 = 1\,500\,000
$$
$$
10 \cdot 60 = 600
$$

Entonces:

$$
20 = k \cdot \frac{1\,500\,000}{600}
$$

Simplificamos la fracción:

$$
\frac{1\,500\,000}{600} = 2500
$$

De donde:

$$
20 = k \cdot 2500 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{20}{2500} = 0.008
$$

**Paso 2. Calcular $$ T $$ para la segunda situación.**

En la segunda situación se tiene:
- $$ C = 6000 $$ productos.
- $$ d = 450 $$ km.
- $$ n = 15 $$ vehículos.
- $$ v = 50 $$ km/h.

Sustituimos:

$$
T = 0.008 \cdot \frac{6000 \cdot 450}{15 \cdot 50}
$$

Calculamos el numerador y el denominador:

$$
6000 \cdot 450 = 2\,700\,000
$$
$$
15 \cdot 50 = 750
$$

Por lo tanto:

$$
T = 0.008 \cdot \frac{2\,700\,000}{750}
$$

Simplificamos la división:

$$
\frac{2\,700\,000}{750} = 3600
$$

Finalmente:

$$
T = 0.008 \cdot 3600 = 28.8 \text{ días}
$$

La empresa tardará aproximadamente $$ 28.8 $$ días en entregar la cantidad de productos en la segunda situación.
La empresa tardará aproximadamente 28.8 días en entregar 6000 productos a un punto de venta a 450 km de distancia con 15 vehículos a una velocidad promedio de 50 km/h.

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