Use la forma polar del número complejo dado para hacer las operaciones que se piden. Grafique las raices y una cada raíz con una recta como viene en las notas proporcionadas. \( \begin{array}{l}\text { a) } z^{6}-1=0 \\ \text { b) } z^{6}+i=0 \\ \text { c) } z^{5}-32=0 \\ \text { d) } z^{4}-1-i=0 \\ \text { Recuerde que por el Teorema fundamental del Álgebra tenemos que un polinomio de grado n tiene exacta- } \\ \text { mente } n \text { raices reales o complejas contando repetidas. }\end{array} \)

¡Vamos a adentrarnos en el mundo de los números complejos y sus operaciones! Para resolver las ecuaciones que tienes aquí, primero vamos a usar la forma polar. Recordemos que un número complejo se puede escribir como \( z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \), donde \( r \) es el módulo y \( \theta \) es el argumento. Para \( z^6 - 1 = 0 \): La raíz de \( z^6 = 1 \) nos da \( r = 1 \) y los argumentos son \( \frac{2k\pi}{6} \) para \( k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 \), que son \( 0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3} \). Para \( z^6 + i = 0 \): Esta se puede reescribir como \( z^6 = -i \). En forma polar, el módulo es 1 y el argumento es \( \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \). Entonces, las raíces serán \( \frac{3\pi}{12} + \frac{k\pi}{3} \) para \( k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 \). Para \( z^5 - 32 = 0 \): Aquí podemos escribir \( z^5 = 32 \) que en polar es \( 32 = 32(\cos 0 + i \sin 0) \), con módulo 32 y argumento 0. Las raíces se encuentran usando \( 2k\pi/5 \) para \( k = 0, 1, 2, 3, 4 \). Finalmente, para \( z^4 - 1 - i = 0 \): Primero, establece \( z^4 = 1 + i \). El módulo es \( \sqrt{2} \) y el argumento es \( \frac{\pi}{4} \). Las raíces están dadas por \( \frac{\pi}{16} + \frac{k\pi}{2} \) para \( k = 0, 1, 2, 3 \). ¡Listo! Ahora puedes graficar las raíces y unir cada raíz con una línea recta. ¡Diviértete explorando el fascinante universo de los números complejos!