Encuentre los puntos en la curva obtenida de $$ \mathbf{r}(t)=\langle 2 \sin t, 3 \cos t, \ln | t| \rangle $$, tal que la recta tangente sea paralelo al plano $$ 3 x+2 y+9=0 $$. Video de apoyo (Ejemplo 4.7 .4 y recuerde que una recta es paralela a un plano el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano):

Question

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Para encontrar los puntos en la curva $$ \mathbf{r}(t)=\langle 2 \sin t, 3 \cos t, \ln | t| \rangle $$ donde la recta tangente es paralela al plano $$ 3x + 2y + 9 = 0 $$, seguimos estos pasos:

1. **Identificar el vector normal del plano**: 
   La ecuación del plano se puede reescribir en la forma $$ Ax + By + Cz + D = 0 $$, donde $$ A = 3 $$, $$ B = 2 $$, y $$ C = 0 $$. Por lo tanto, el vector normal del plano es $$ \mathbf{n} = \langle 3, 2, 0 \rangle $$.

2. **Encontrar la derivada de la curva**:
   La derivada de $$ \mathbf{r}(t) $$ nos dará el vector tangente a la curva en cualquier punto $$ t $$:
   $$
   \mathbf{r}'(t) = \left\langle \frac{d}{dt}(2 \sin t), \frac{d}{dt}(3 \cos t), \frac{d}{dt}(\ln |t|) \right\rangle
   $$
   Calculamos cada componente:
   - $$ \frac{d}{dt}(2 \sin t) = 2 \cos t $$
   - $$ \frac{d}{dt}(3 \cos t) = -3 \sin t $$
   - $$ \frac{d}{dt}(\ln |t|) = \frac{1}{t} $$

Por lo tanto, 
   $$
   \mathbf{r}'(t) = \langle 2 \cos t, -3 \sin t, \frac{1}{t} \rangle
   $$

3. **Condición de perpendicularidad**:
   Para que la recta tangente sea paralela al plano, el vector tangente $$ \mathbf{r}'(t) $$ debe ser perpendicular al vector normal $$ \mathbf{n} $$. Esto se traduce en que su producto punto debe ser cero:
   $$
   \mathbf{r}'(t) \cdot \mathbf{n} = 0
   $$
   Esto se expresa como:
   $$
   \langle 2 \cos t, -3 \sin t, \frac{1}{t} \rangle \cdot \langle 3, 2, 0 \rangle = 0
   $$
   Calculamos el producto punto:
   $$
   2 \cos t \cdot 3 + (-3 \sin t) \cdot 2 + \frac{1}{t} \cdot 0 = 0
   $$
   Simplificando, obtenemos:
   $$
   6 \cos t - 6 \sin t = 0
   $$
   Dividiendo por 6:
   $$
   \cos t - \sin t = 0
   $$
   Esto implica que:
   $$
   \cos t = \sin t
   $$
   La solución a esta ecuación es:
   $$
   t = \frac{\pi}{4} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}
   $$

4. **Encontrar los puntos en la curva**:
   Ahora sustituimos $$ t = \frac{\pi}{4} + n\pi $$ en $$ \mathbf{r}(t) $$:
   - Para $$ n = 0 $$:
     $$
     t = \frac{\pi}{4} \implies \mathbf{r}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left\langle 2 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right), 3 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right), \ln\left|\frac{\pi}{4}\right| \right\rangle = \left\langle 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}, 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}, \ln\left|\frac{\pi}{4}\right| \right\rangle = \left\langle \sqrt{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2}, \ln\left|\frac{\pi}{4}\right| \right\rangle
     $$

- Para $$ n = 1 $$:
     $$
     t = \frac{5\pi}{4} \implies \mathbf{r}\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \left\langle 2 \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right), 3 \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right), \ln\left|\frac{5\pi}{4}\right| \right\rangle = \left\langle 2 \cdot -\frac{\sqrt{2}}{2}, 3 \cdot -\frac{\sqrt{2}}{2}, \ln\left|\frac{5\pi}{4}\right| \right\rangle = \left\langle -\sqrt{2}, -\frac{3\sqrt{2}}{2}, \ln\left|\frac{5\pi}{4}\right| \right\rangle
     $$

5. **Conclusión**:
   Los puntos en la curva donde la recta tangente es paralela al plano son:
   $$
   \left\langle \sqrt{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2}, \ln\left|\frac{\pi}{4}\right| \right\rangle \quad \text{y} \quad \left\langle -\sqrt{2}, -\frac{3\sqrt{2}}{2}, \ln\left|\frac{5\pi}{4}\right| \right\rangle
   $$
   Para otros valores de $$ n $$, se pueden obtener más puntos siguiendo el mismo procedimiento.
Los puntos en la curva donde la recta tangente es paralela al plano $$ 3x + 2y + 9 = 0 $$ son: $$ \left\langle \sqrt{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2}, \ln\left|\frac{\pi}{4}\right| \right\rangle \quad \text{y} \quad \left\langle -\sqrt{2}, -\frac{3\sqrt{2}}{2}, \ln\left|\frac{5\pi}{4}\right| \right\rangle $$

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