Encuentre los puntos en la curva obtenida de \( \mathbf{r}(t)=\langle 2 \sin t, 3 \cos t, \ln | t| \rangle \), tal que la recta tangente sea paralelo al plano \( 3 x+2 y+9=0 \). Video de apoyo (Ejemplo 4.7 .4 y recuerde que una recta es paralela a un plano el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano):

Para encontrar los puntos en la curva \( \mathbf{r}(t)=\langle 2 \sin t, 3 \cos t, \ln | t| \rangle \) donde la recta tangente es paralela al plano \( 3x + 2y + 9 = 0 \), seguimos estos pasos: 1. **Identificar el vector normal del plano**: La ecuación del plano se puede reescribir en la forma \( Ax + By + Cz + D = 0 \), donde \( A = 3 \), \( B = 2 \), y \( C = 0 \). Por lo tanto, el vector normal del plano es \( \mathbf{n} = \langle 3, 2, 0 \rangle \). 2. **Encontrar la derivada de la curva**: La derivada de \( \mathbf{r}(t) \) nos dará el vector tangente a la curva en cualquier punto \( t \): \[ \mathbf{r}'(t) = \left\langle \frac{d}{dt}(2 \sin t), \frac{d}{dt}(3 \cos t), \frac{d}{dt}(\ln |t|) \right\rangle \] Calculamos cada componente: - \( \frac{d}{dt}(2 \sin t) = 2 \cos t \) - \( \frac{d}{dt}(3 \cos t) = -3 \sin t \) - \( \frac{d}{dt}(\ln |t|) = \frac{1}{t} \) Por lo tanto, \[ \mathbf{r}'(t) = \langle 2 \cos t, -3 \sin t, \frac{1}{t} \rangle \] 3. **Condición de perpendicularidad**: Para que la recta tangente sea paralela al plano, el vector tangente \( \mathbf{r}'(t) \) debe ser perpendicular al vector normal \( \mathbf{n} \). Esto se traduce en que su producto punto debe ser cero: \[ \mathbf{r}'(t) \cdot \mathbf{n} = 0 \] Esto se expresa como: \[ \langle 2 \cos t, -3 \sin t, \frac{1}{t} \rangle \cdot \langle 3, 2, 0 \rangle = 0 \] Calculamos el producto punto: \[ 2 \cos t \cdot 3 + (-3 \sin t) \cdot 2 + \frac{1}{t} \cdot 0 = 0 \] Simplificando, obtenemos: \[ 6 \cos t - 6 \sin t = 0 \] Dividiendo por 6: \[ \cos t - \sin t = 0 \] Esto implica que: \[ \cos t = \sin t \] La solución a esta ecuación es: \[ t = \frac{\pi}{4} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \] 4. **Encontrar los puntos en la curva**: Ahora sustituimos \( t = \frac{\pi}{4} + n\pi \) en \( \mathbf{r}(t) \): - Para \( n = 0 \): \[ t = \frac{\pi}{4} \implies \mathbf{r}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left\langle 2 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right), 3 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right), \ln\left|\frac{\pi}{4}\right| \right\rangle = \left\langle 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}, 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}, \ln\left|\frac{\pi}{4}\right| \right\rangle = \left\langle \sqrt{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2}, \ln\left|\frac{\pi}{4}\right| \right\rangle \] - Para \( n = 1 \): \[ t = \frac{5\pi}{4} \implies \mathbf{r}\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \left\langle 2 \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right), 3 \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right), \ln\left|\frac{5\pi}{4}\right| \right\rangle = \left\langle 2 \cdot -\frac{\sqrt{2}}{2}, 3 \cdot -\frac{\sqrt{2}}{2}, \ln\left|\frac{5\pi}{4}\right| \right\rangle = \left\langle -\sqrt{2}, -\frac{3\sqrt{2}}{2}, \ln\left|\frac{5\pi}{4}\right| \right\rangle \] 5. **Conclusión**: Los puntos en la curva donde la recta tangente es paralela al plano son: \[ \left\langle \sqrt{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2}, \ln\left|\frac{\pi}{4}\right| \right\rangle \quad \text{y} \quad \left\langle -\sqrt{2}, -\frac{3\sqrt{2}}{2}, \ln\left|\frac{5\pi}{4}\right| \right\rangle \] Para otros valores de \( n \), se pueden obtener más puntos siguiendo el mismo procedimiento.