2. Relativo a los ejes cartesianos \( 0 x_{1} x_{2} x_{3} \), un campo de esfuerzos está dado por la matriz \( \left[\sigma_{i j}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\left(1-x_{1}^{2}\right) x_{2}+\frac{2}{3} x_{2}^{3} & -\left(4-x_{2}^{2}\right) x_{1} & 0 \\ -\left(4-x_{2}^{2}\right) x_{1} & -\frac{1}{3}\left(x_{2}^{3}-12 x_{2}\right) & 0 \\ 0 & 0 & \left(3-x_{1}^{2}\right) x_{2}\end{array}\right] \) (a) Demuestre que las ecuaciones de equilibrio se satisfacen cuando las fuerzas de cuerpo son cero en cualquier punto (b) Determine el vector de esfuerzo en el punto \( P(2,-1,6) \) del plano cuya ecuación es \( 3 x_{1}+6 x_{2}+2 x_{3}=12 \).

Para demostrar que las ecuaciones de equilibrio se satisfacen cuando las fuerzas de cuerpo son cero, necesitamos verificar que la divergencia del campo de esfuerzos es igual a cero en el campo dado, lo cual sería una manifestación de que no hay cargas internas. Al aplicar el teorema de la divergencia a la matriz de esfuerzos \(\sigma_{ij}\), podemos mostrar que \(\nabla \cdot \sigma = 0\) es cierto si todos los términos de la forma \(\frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} = 0\) se eliminan. Esto indica que el estado de esfuerzo es un equilibrio estable. Al evaluar el vector de esfuerzo en el punto \( P(2,-1,6) \), sustituimos los valores en la matriz \(\left[\sigma_{i j}\right]\). Esto significa calcular cada componente del vector de esfuerzo en función de \(x_1 = 2\), \(x_2 = -1\), y \(x_3 = 6\). Al hacer esto, los resultados de las componentes son \(\sigma_{11}\), \(\sigma_{12}\), \(\sigma_{22}\), y así sucesivamente, lo que resulta en un vector de esfuerzo particular que se puede interpretar en términos de la tensión interna en ese punto específico del plano definido por \(3 x_{1}+6 x_{2}+2 x_{3}=12\).