Question
upstudy study bank question image url

Evaluate the expression. \[ \frac{{ }_{8} C_{2} \cdot{ }_{8} C_{1}}{{ }_{24} C_{3}} \] \( \frac{{ }_{8} C_{2} \cdot{ }_{8} C_{1}}{{ }_{24} C_{3}}=\square \) (Type an integer or a simplified fraction.)

Ask by Joseph Henry. in the United States
Mar 18,2025

Upstudy AI Solution

Tutor-Verified Answer

Answer

\[ \frac{28}{253} \]

Solution

Sign in to Unlock Answers for Free!

A Learning Platform Trusted by Millions of Real Students and Teachers.

star-icon Unlock

Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor

The Deep Dive

To solve the expression \( \frac{{ }_{8} C_{2} \cdot{ }_{8} C_{1}}{{ }_{24} C_{3}} \), we first need to calculate each of the binomial coefficients involved. Binomial coefficients are given by the formula: \[ _{n}C_{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] 1. Calculate \( _{8}C_{2} \): \[ _{8}C_{2} = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = \frac{56}{2} = 28 \] 2. Calculate \( _{8}C_{1} \): \[ _{8}C_{1} = \frac{8!}{1!(8-1)!} = \frac{8!}{1! \cdot 7!} = 8 \] 3. Calculate \( _{24}C_{3} \): \[ _{24}C_{3} = \frac{24!}{3!(24-3)!} = \frac{24!}{3! \cdot 21!} = \frac{24 \cdot 23 \cdot 22}{3 \cdot 2 \cdot 1} \] Calculating the numerator: \[ 24 \cdot 23 = 552 \] \[ 552 \cdot 22 = 12144 \] Now, for the denominator: \[ 3! = 6 \] So, \[ _{24}C_{3} = \frac{12144}{6} = 2024 \] 4. Now substituting these calculations back into the expression: \[ \frac{_{8}C_{2} \cdot _{8}C_{1}}{_{24}C_{3}} = \frac{28 \cdot 8}{2024} \] Calculate the numerator: \[ 28 \cdot 8 = 224 \] Now, we substitute this into the expression: \[ \frac{224}{2024} \] To simplify this fraction, we can find the greatest common divisor (GCD) of 224 and 2024. Calculating the GCD: \[ 224 = 2^5 \cdot 7 \] \[ 2024 = 2^2 \cdot 3 \cdot 13 \cdot 7 \] The GCD is \( 2^2 \cdot 7 = 28 \). Now we divide the numerator and the denominator by their GCD: \[ \frac{224 \div 28}{2024 \div 28} = \frac{8}{72} = \frac{1}{9} \] Thus, the final answer is: \[ \frac{1}{9} \] The evaluated expression is: \[ \boxed{\frac{1}{9}} \]

Related Questions

Latest Probability Questions

6. ทีมวิจัยของโรงพยาบาลแห่งหนึ่งได้วิจัยและพัตนาสารเพิ่มความแข็งแรงให้กับอสุจิที่มิโครโมโซม \( Y \) พร้อมพั้ง ทำให้อสุจิที่มีโครโมโชม \( X \) อ่อนแอจากการทดลองฉีดสารนี้ให้กับสามีสำหรับคู่สามีภรรยาที่ต้องการมีบุตร พบว่า ความน่าจะเป็นที่บุตรของสามีภรรยาแต่ละคู่ที่สามีได้รับการฉีดสารนี้จะเป็นชายเท่ากับ 0.8 ถ้าสุ่มคู่สามีภรรยาที่ สามีได้รับการฉีดสารนี้จำนวน 8 คู่ จงหาความน่าจะเป็นที่จะมีสามีภรรยาตั้งแต่ 5 ถึง 7 คู่ ได้บุตรชาย 1. 0.0002 2. 0.7759 3. 0.0006 4. 0.0008 7. ให้ \( Z \) เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน จงหา \( P(0.91 \leq Z \leq 2.26) \) 1. 0.0901 2. 0.0146 3. 0.9464 4. 0.1695 8. ให้ \( Z \) เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน จงหา \( P(Z \leq-3)+P(Z>-3) \) 1. 0.1024 2. 0.0098 3. 0.0073 4. 0.0026 9. ให้ \( Z \) เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน จงหา \( P(-3<Z<3) \) 1. 0.9981 2. 0.9974 3. 0.9887 4. 0.9775 10. ให้ \( Z \) เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน จงหา \( P(-1.78<Z \leq 2.41) \) 1. 0.9345 2. 0.9445 3. 0.9545 กำหนดให้ \( X \sim N(50,100) \) จงตอบคำถามข้อ 11-13 11. จงหา \( P(X \leq 35) \) 1. 0.0668 2. 0.0773 3. 0.1248 4. 0.1776 12. จงหา \( P(X \geq 55) \) 1. 0.2641 2. 0.2987 3. 0.3085 4. 0.3225 13. จงหา \( \mathrm{P}(20<\mathrm{x} \leq 80) \) 1. 0.7822 2. 0.8163 3. 0.9476 4. 0.9974 14. คะแนนสอบวัดความรู้ความสามารถวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนระดับมัธยมศึกษาตอนปลายที่จัดโดย สถาบันแห่งหนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 505 และ 111 คะแนน ตามลำดับ ถ้าสุ่มนักเรียน 1 คน ที่เข้าร่วมการสอบนี้ จงหาความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนี้จะได้คะแนนสอบน้อย กว่า 450 คะแนน 1. 0.1244 2. 0.2478 3. 0.3013 4. 0.3085 / ต่อหน้า 3 ข้อ 15
Probability Thailand Mar 18, 2025
Try Premium now!
Try Premium and ask Thoth AI unlimited math questions now!
Maybe later Go Premium
Study can be a real struggle
Why not UpStudy it?
Select your plan below
Premium

You can enjoy

Start now
  • Step-by-step explanations
  • 24/7 expert live tutors
  • Unlimited number of questions
  • No interruptions
  • Full access to Answer and Solution
  • Full Access to PDF Chat, UpStudy Chat, Browsing Chat
Basic

Totally free but limited

  • Limited Solution
Welcome to UpStudy!
Please sign in to continue the Thoth AI Chat journey
Continue with Email
Or continue with
By clicking “Sign in”, you agree to our Terms of Use & Privacy Policy