16. 공차가 6 인 등차수열 \( \left\{\mathrm{a}_{n}\right\} \) 에 대하여 세 항 \( \mathrm{a}_{2}, \mathrm{a}_{\mathrm{k},} \mathrm{a}_{8} \) 은 이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 항 \( \mathrm{a}_{1,} \mathrm{a}_{2}, \mathrm{a}_{k} \) 는 이 순서대로 등비수열을 이룬다. \( \mathrm{K}+\mathrm{a}_{1} \) 의 값은? \( \begin{array}{lllll}\text { (1) } 7 & \text { (2) } 8 & \text { (3) } 9 & \text { (4) } 10 & \text { (5) } 11\end{array} \)

1. 등차수열의 일반항은 \[ a_n = a_1 + (n-1) \times 6 \] 입니다. 2. 첫 번째 조건은 세 항 \(a_2, a_k, a_8\)가 등차수열을 이룬다는 것입니다. 등차수열의 조건은 중앙 항의 두 배가 양 끝 항의 합과 같다는 점을 이용하면 \[ 2a_k = a_2 + a_8 \] 입니다. 3. 각 항을 \(a_1\)로 나타내면 \[ a_2 = a_1 + 6,\quad a_k = a_1 + 6(k-1),\quad a_8 = a_1 + 42 \] 이므로, 조건을 대입하면 \[ 2\left(a_1 + 6(k-1)\right) = (a_1 + 6) + (a_1 + 42) \] \[ 2a_1 + 12(k-1) = 2a_1 + 48 \] 양변에서 \(2a_1\)를 소거하면 \[ 12(k-1) = 48 \] 따라서 \[ k-1 = 4 \quad \Rightarrow \quad k = 5 \] 입니다. 4. 두 번째 조건은 \(a_1, a_2, a_k\)가 등비수열을 이룬다는 것입니다. 등비수열의 조건은 \[ a_2^2 = a_1 \cdot a_k \] 입니다. 5. \(k=5\)이므로 \(a_5 = a_1 + 6(5-1) = a_1 + 24\)가 됩니다. \(a_2 = a_1 + 6\)이고, 이를 조건에 대입하면 \[ (a_1 + 6)^2 = a_1 (a_1 + 24) \] 6. 양변을 전개하면 \[ a_1^2 + 12a_1 + 36 = a_1^2 + 24a_1 \] 여기서 \(a_1^2\)를 소거하면 \[ 12a_1 + 36 = 24a_1 \] \[ 36 = 12a_1 \] 따라서 \[ a_1 = 3 \] 입니다. 7. 최종적으로 \(k + a_1\)의 값은 \[ k + a_1 = 5 + 3 = 8 \] 입니다.