1 Une mesure d'un angle géométrique est 250 grades. Donner sa mesure en degré et en radian. $$ \square $$ Repréenter sur un cercle trigonométrique les points $$ M_{k}\left(-\frac{\pi}{6}+k \pi ight) $$ tel que ( $$ k \in Z $$ ) 3) Calculer $$ \cos \left(\frac{-79 \pi}{3} ight) $$ et $$ an \left(\frac{41 \pi}{4} ight) $$. 1) Simplifier les expressions suivantes (en indiquant les propriétis utilisers) : - $$ A=\cos (x-38 \pi)+\sin (251 \pi-x)+3 \cos \left(\frac{17 \pi}{2}+x ight)+2 \sin \left(\frac{15 \pi}{2}-x ight) $$ - $$ B=\cos (x+34 \pi)+\sin (57 \pi-x)+3 \cos \left(\frac{13 \pi}{2}-x ight)+2 \sin \left(\frac{3 \pi}{2}-x ight) $$ 5 5. On pose, $$ \sin \left(\frac{\pi}{5} ight)=a $$. Calculer en fonction de $$ a $$ les rapports trigonométriques suivants : (a) $$ \cos \left(\frac{\pi}{5} ight) $$ et $$ an \left(\frac{\pi}{5} ight) $$ (D) $$ \cos \left(\frac{6 \pi}{5} ight) $$ et $$ an \left(\frac{11 \pi}{10} ight) $$

Question

1 Une mesure d'un angle géométrique est 250 grades. Donner sa mesure en degré et en radian. $$ \square $$ Repréenter sur un cercle trigonométrique les points $$ M_{k}\left(-\frac{\pi}{6}+k \piight) $$ tel que ( $$ k \in Z $$ ) 3) Calculer $$ \cos \left(\frac{-79 \pi}{3}ight) $$ et $$ 	an \left(\frac{41 \pi}{4}ight) $$. 1) Simplifier les expressions suivantes (en indiquant les propriétis utilisers) : - $$ A=\cos (x-38 \pi)+\sin (251 \pi-x)+3 \cos \left(\frac{17 \pi}{2}+xight)+2 \sin \left(\frac{15 \pi}{2}-xight) $$ - $$ B=\cos (x+34 \pi)+\sin (57 \pi-x)+3 \cos \left(\frac{13 \pi}{2}-xight)+2 \sin \left(\frac{3 \pi}{2}-xight) $$ 5 5. On pose, $$ \sin \left(\frac{\pi}{5}ight)=a $$. Calculer en fonction de $$ a $$ les rapports trigonométriques suivants : (a) $$ \cos \left(\frac{\pi}{5}ight) $$ et $$ 	an \left(\frac{\pi}{5}ight) $$ (D) $$ \cos \left(\frac{6 \pi}{5}ight) $$ et $$ 	an \left(\frac{11 \pi}{10}ight) $$

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Simplify the expression by following steps:
- step0: Solution:
  $$-\frac{a}{\sqrt{1-a^{2}}}$$
- step1: Simplify:
  $$-\frac{a\sqrt{1-a^{2}}}{1-a^{2}}$$
Calculate or simplify the expression $$ \sqrt(1-a^2) $$.
Simplify the expression by following steps:
- step0: Solution:
  $$\sqrt{1-a^{2}}$$
Calculate or simplify the expression $$ a/\sqrt(1-a^2) $$.
Simplify the expression by following steps:
- step0: Solution:
  $$\frac{a}{\sqrt{1-a^{2}}}$$
- step1: Simplify:
  $$\frac{a\sqrt{1-a^{2}}}{1-a^{2}}$$
Calculate or simplify the expression $$ \cos(x-38*\pi)+\sin(251*\pi-x)+3*\cos(17*\pi/2+x)+2*\sin(15*\pi/2-x) $$.
Simplify the expression by following steps:
- step0: Solution:
  $$\cos\left(x-38\pi ight)+\sin\left(251\pi -xight)+3\cos\left(\frac{17\pi }{2}+xight)+2\sin\left(\frac{15\pi }{2}-xight)$$
- step1: Rewrite the expression:
  $$\cos\left(x-38\pi ight)+\sin\left(251\pi -xight)+3\left(-\sin\left(xight)ight)+2\sin\left(\frac{15\pi }{2}-xight)$$
- step2: Rewrite the expression:
  $$\cos\left(x-38\pi ight)+\sin\left(251\pi -xight)+3\left(-\sin\left(xight)ight)+2\left(-\cos\left(xight)ight)$$
- step3: Rewrite the expression:
  $$\cos\left(xight)+\sin\left(251\pi -xight)+3\left(-\sin\left(xight)ight)+2\left(-\cos\left(xight)ight)$$
- step4: Rewrite the expression:
  $$\cos\left(xight)+\sin\left(xight)+3\left(-\sin\left(xight)ight)+2\left(-\cos\left(xight)ight)$$
- step5: Rewrite the expression:
  $$\cos\left(xight)+\sin\left(xight)-3\sin\left(xight)+2\left(-\cos\left(xight)ight)$$
- step6: Rewrite the expression:
  $$\cos\left(xight)+\sin\left(xight)-3\sin\left(xight)-2\cos\left(xight)$$
- step7: Subtract the terms:
  $$-\cos\left(xight)-2\sin\left(xight)$$
Calculate or simplify the expression $$ \cos(-79*\pi/3) $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$\cos\left(\frac{-79\pi }{3}ight)$$
- step1: Rewrite the fraction:
  $$\cos\left(-\frac{79\pi }{3}ight)$$
- step2: Rewrite the expression:
  $$\cos\left(\frac{79\pi }{3}ight)$$
- step3: Rearrange the numbers:
  $$\cos\left(\frac{\pi }{3}+13	imes 2\pi ight)$$
- step4: Rearrange the terms:
  $$\cos\left(\frac{\pi }{3}ight)$$
- step5: Calculate the trigonometric value:
  $$\frac{1}{2}$$
Calculate or simplify the expression $$ -\sqrt(1-a^2) $$.
Simplify the expression by following steps:
- step0: Solution:
  $$-\sqrt{1-a^{2}}$$
Calculate or simplify the expression $$ 	an(41*\pi/4) $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$	an\left(\frac{41\pi }{4}ight)$$
- step1: Rearrange the numbers:
  $$	an\left(\frac{\pi }{4}+10\pi ight)$$
- step2: Rearrange the terms:
  $$	an\left(\frac{\pi }{4}ight)$$
- step3: Calculate the trigonometric value:
  $$1$$
Calculate or simplify the expression $$ \cos(x+34*\pi)+\sin(57*\pi-x)+3*\cos(13*\pi/2-x)+2*\sin(3*\pi/2-x) $$.
Simplify the expression by following steps:
- step0: Solution:
  $$\cos\left(x+34\pi ight)+\sin\left(57\pi -xight)+3\cos\left(\frac{13\pi }{2}-xight)+2\sin\left(\frac{3\pi }{2}-xight)$$
- step1: Rewrite the expression:
  $$\cos\left(x+34\pi ight)+\sin\left(57\pi -xight)+3\sin\left(xight)+2\sin\left(\frac{3\pi }{2}-xight)$$
- step2: Rewrite the expression:
  $$\cos\left(x+34\pi ight)+\sin\left(57\pi -xight)+3\sin\left(xight)+2\left(-\cos\left(xight)ight)$$
- step3: Rewrite the expression:
  $$\cos\left(xight)+\sin\left(57\pi -xight)+3\sin\left(xight)+2\left(-\cos\left(xight)ight)$$
- step4: Rewrite the expression:
  $$\cos\left(xight)+\sin\left(xight)+3\sin\left(xight)+2\left(-\cos\left(xight)ight)$$
- step5: Rewrite the expression:
  $$\cos\left(xight)+\sin\left(xight)+3\sin\left(xight)-2\cos\left(xight)$$
- step6: Subtract the terms:
  $$-\cos\left(xight)+4\sin\left(xight)$$
1. **Conversion de 250 grades en degrés et en radians :**
   - Pour convertir 250 grades en degrés, on utilise la relation $$ 1 	ext{ grade} = \frac{9}{10} 	ext{ degrés} $$.
   - Donc, $$ 250 	ext{ grades} = 250 	imes \frac{9}{10} = 225 	ext{ degrés} $$.
   - Pour convertir en radians, on utilise la relation $$ 180 	ext{ degrés} = \pi 	ext{ radians} $$.
   - Ainsi, $$ 225 	ext{ degrés} = 225 	imes \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{4} 	ext{ radians} $$.

2. **Représentation sur un cercle trigonométrique des points $$ M_{k}\left(-\frac{\pi}{6}+k \piight) $$ :**
   - Les points $$ M_k $$ représentent des angles qui se répètent tous les $$ \pi $$ radians. 
   - Pour $$ k \in \mathbb{Z} $$, cela signifie que nous avons des angles de la forme $$ -\frac{\pi}{6} $$, $$ \frac{5\pi}{6} $$, $$ \frac{11\pi}{6} $$, etc., qui se trouvent sur le cercle trigonométrique.

3. **Calcul de $$ \cos \left(\frac{-79 \pi}{3}ight) $$ :**
   - Le résultat est $$ \frac{1}{2} $$.

4. **Calcul de $$ 	an \left(\frac{41 \pi}{4}ight) $$ :**
   - Le résultat est $$ 1 $$.

5. **Simplification des expressions :**
   - Pour $$ A = \cos (x-38 \pi) + \sin (251 \pi - x) + 3 \cos \left(\frac{17 \pi}{2} + xight) + 2 \sin \left(\frac{15 \pi}{2} - xight) $$:
     - En utilisant les propriétés des fonctions trigonométriques, on obtient $$ A = -\cos(x) - 2\sin(x) $$.
   - Pour $$ B = \cos (x + 34 \pi) + \sin (57 \pi - x) + 3 \cos \left(\frac{13 \pi}{2} - xight) + 2 \sin \left(\frac{3 \pi}{2} - xight) $$:
     - On obtient $$ B = -\cos(x) + 4\sin(x) $$.

6. **Calcul des rapports trigonométriques en fonction de $$ a = \sin \left(\frac{\pi}{5}ight) $$ :**
   - $$ \cos \left(\frac{\pi}{5}ight) = \sqrt{1-a^{2}} $$
   - $$ 	an \left(\frac{\pi}{5}ight) = \frac{a}{\sqrt{1-a^{2}}} $$
   - $$ \cos \left(\frac{6 \pi}{5}ight) = -\sqrt{1-a^{2}} $$
   - $$ 	an \left(\frac{11 \pi}{10}ight) = -\frac{a}{\sqrt{1-a^{2}}} $$

Ces résultats fournissent une vue d'ensemble des conversions et simplifications demandées.
1. **Conversion de 250 grades :** - 250 grades = 225 degrés = $$ \frac{5\pi}{4} $$ radians. 2. **Représentation sur le cercle trigonométrique :** - Les points $$ M_k $$ sont des angles de la forme $$ -\frac{\pi}{6} + k\pi $$, se répétant tous les $$ \pi $$ radians. 3. **Calculs :** - $$ \cos\left(\frac{-79\pi}{3}ight) = \frac{1}{2} $$ - $$ 	an\left(\frac{41\pi}{4}ight) = 1 $$ 4. **Simplifications des expressions :** - $$ A = -\cos(x) - 2\sin(x) $$ - $$ B = -\cos(x) + 4\sin(x) $$ 5. **Rapports trigonométriques en fonction de $$ a = \sin\left(\frac{\pi}{5}ight) $$ :** - $$ \cos\left(\frac{\pi}{5}ight) = \sqrt{1 - a^2} $$ - $$ 	an\left(\frac{\pi}{5}ight) = \frac{a}{\sqrt{1 - a^2}} $$ - $$ \cos\left(\frac{6\pi}{5}ight) = -\sqrt{1 - a^2} $$ - $$ 	an\left(\frac{11\pi}{10}ight) = -\frac{a}{\sqrt{1 - a^2}} $$

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