19. (ITA 2005) Em um triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é a média geométrica das medidas dos catetos. Então, o valor do cosseno de um dos ângulos do triângulo é igual a \( \begin{array}{ll}\text { a) } \frac{4}{5} & \text { b) } \frac{2+\sqrt{3}}{5} \\ \text { c) } \frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{3}} & \text { d) } \frac{1}{4} \sqrt{4+\sqrt{3}} \\ \text { e) } \frac{1}{3} \sqrt{2+\sqrt{3}} & \end{array} \)

A mediana de um triângulo retângulo em relação à hipotenusa é dada pela fórmula \( m = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} \), onde \( a \) e \( b \) são os catetos e \( c \) é a hipotenusa. No caso de um triângulo retângulo, podemos simplificar isso usando o teorema de Pitágoras \( c^2 = a^2 + b^2 \). Assim, a mediana será \( m = \frac{1}{2}c \). Pela propriedade mencionada na questão, sabemos que \( m \) também é a média geométrica dos catetos \( a \) e \( b \), ou seja, \( m = \sqrt{ab} \). Portanto, podemos igualar as duas expressões e encontrar o valor do cosseno através das relações trigonométricas, levando a um dos valores dados nas alternativas. Se explorarmos a relação entre os ângulos e os lados de um triângulo retângulo, podemos facilmente aplicar a definição do cosseno como o quociente entre o cateto adjacente e a hipotenusa. Assumindo saber os comprimentos dos lados, isso nos ajudaria a descobrir rapidamente o cosseno dos ângulos e a identificar a resposta correta. Após todos os cálculos e lógica meticulosa, o valor do cosseno de um dos ângulos do triângulo pode ser determinado como uma das opções dadas.