19. (ITA 2005) Em um triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é a média geométrica das medidas dos catetos. Então, o valor do cosseno de um dos ângulos do triângulo é igual a $$ \begin{array}{ll} ext { a) } \frac{4}{5} & ext { b) } \frac{2+\sqrt{3}}{5} \ ext { c) } \frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{3}} & ext { d) } \frac{1}{4} \sqrt{4+\sqrt{3}} \ ext { e) } \frac{1}{3} \sqrt{2+\sqrt{3}} & \end{array} $$

Question

19. (ITA 2005) Em um triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é a média geométrica das medidas dos catetos. Então, o valor do cosseno de um dos ângulos do triângulo é igual a $$ \begin{array}{ll}	ext { a) } \frac{4}{5} & 	ext { b) } \frac{2+\sqrt{3}}{5} \ 	ext { c) } \frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{3}} & 	ext { d) } \frac{1}{4} \sqrt{4+\sqrt{3}} \ 	ext { e) } \frac{1}{3} \sqrt{2+\sqrt{3}} & \end{array} $$

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Considere um triângulo retângulo de catetos $$ a $$ e $$ b $$ e hipotenusa $$ c $$. A mediana relativa à hipotenusa tem medida
$$
m = \frac{c}{2}.
$$
Pela hipótese, temos que essa mediana é a média geométrica dos catetos, isto é,
$$
\frac{c}{2} = \sqrt{ab}.
$$
Elevando ao quadrado ambos os lados,
$$
\frac{c^2}{4} = ab.
$$
Mas em um triângulo retângulo,
$$
c^2 = a^2 + b^2.
$$
Portanto,
$$
\frac{a^2 + b^2}{4} = ab \quad \Longrightarrow \quad a^2 + b^2 = 4ab.
$$

Dividindo ambos os lados por $$ b^2 $$ (assumindo $$ b\neq 0 $$) e definindo $$ t = \frac{a}{b} $$,
$$
t^2 + 1 = 4t.
$$
O que se reescreve como
$$
t^2 - 4t + 1 = 0.
$$
Resolvendo a equação do segundo grau,
$$
t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}.
$$
Como $$ 2 + \sqrt{3} > 1 $$ e $$ 2 - \sqrt{3} < 1 $$, podemos associar $$ t = 2+\sqrt{3} $$ ao cateto maior (digamos, $$ a $$) e $$ t = 2-\sqrt{3} $$ ao cateto menor (digamos, $$ b $$).

Seja $$\alpha$$ o ângulo oposto ao cateto $$ a $$. Temos que
$$
\tan\alpha = \frac{a}{b} = 2+\sqrt{3}.
$$
Calculemos $$\cos\alpha$$ usando a relação
$$
\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}.
$$
Primeiro, calculamos:
$$
\tan^2\alpha = (2+\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}.
$$
Então,
$$
1+\tan^2\alpha = 8 + 4\sqrt{3} = 4(2+\sqrt{3}).
$$
Logo,
$$
\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{4(2+\sqrt{3})}} = \frac{1}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}.
$$

Contudo, a expressão obtida para $$\cos\alpha$$ não corresponde diretamente a nenhuma das alternativas fornecidas. Observe que os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares. Se definirmos $$\beta = 90^\circ - \alpha$$, então
$$
\cos\beta = \sin\alpha.
$$
Agora, calculemos $$\sin\alpha$$. Usando a relação
$$
\sin\alpha = \tan\alpha \cdot \cos\alpha,
$$
obtemos
$$
\sin\alpha = \left(2+\sqrt{3}\right) \cdot \frac{1}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}} = \frac{2+\sqrt{3}}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}.
$$
Note que
$$
\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}} = \sqrt{2+\sqrt{3}},
$$
pois
$$
\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{(2+\sqrt{3})^2}{2+\sqrt{3}}} = \sqrt{2+\sqrt{3}}.
$$
Portanto,
$$
\sin\alpha = \frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{3}}.
$$
Assim, $$\cos\beta = \sin\alpha = \frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{3}}$$.

Uma das alternativas corresponde a esta expressão, isto é,
$$
\cos\beta = \frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{3}},
$$
o que nos leva à resposta correta: alternativa (c).
O cosseno de um dos ângulos do triângulo é $$ \frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{3}} $$.

(ITA 2005) Em um triângulo retângulo, a medida da
mediana relativa à hipotenusa é a média geométrica das
medidas dos catetos. Então, o valor do cosseno de um dos
ângulos do triângulo é igual a

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