Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales y resolverlo cuando sea posible: $$ \left.\qquad \begin{array}{c}x+y+\lambda z=\lambda^{2} \ y-z=\lambda \ x+\lambda y+z=\lambda\end{array} ight\} \quad\left|\begin{array}{cc}1 & \lambda \ 1 & -1\end{array} ight|=-1-\lambda=0 ; \lambda=1 $$

Question

Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales y resolverlo cuando sea posible: $$ \left.\qquad \begin{array}{c}x+y+\lambda z=\lambda^{2} \ y-z=\lambda \ x+\lambda y+z=\lambda\end{array}ight\} \quad\left|\begin{array}{cc}1 & \lambda \ 1 & -1\end{array}ight|=-1-\lambda=0 ; \lambda=1 $$

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Para resolver el sistema de ecuaciones lineales dado, primero necesitamos encontrar el valor de $$ \lambda $$ que satisface la condición $$ -1-\lambda=0 $$, lo cual implica que $$ \lambda = -1 $$.

Una vez que tenemos el valor de $$ \lambda $$, podemos sustituirlo en el sistema de ecuaciones lineales y resolverlo para encontrar los valores de $$ x $$, $$ y $$ y $$ z $$.

El sistema de ecuaciones lineales es el siguiente:

$$
\begin{array}{c}
x + y + \lambda z = \lambda^{2} \
y - z = \lambda \
x + \lambda y + z = \lambda
\end{array}
$$

Sustituyendo $$ \lambda = -1 $$ en el sistema de ecuaciones, obtenemos:

$$
\begin{array}{c}
x + y - z = 1 \
y - z = -1 \
x - y + z = -1
\end{array}
$$

Ahora, podemos resolver este sistema de ecuaciones lineales para encontrar los valores de $$ x $$, $$ y $$ y $$ z $$.
Solve the system of equations by following steps:
- step0: Solve using the substitution method:
  $$\left\{ \begin{array}{l}x+y-z=1\y-z=-1\x-y+z=-1\end{array}\right.$$
- step1: Solve the equation:
  $$\left\{ \begin{array}{l}x=1-y+z\y-z=-1\x-y+z=-1\end{array}\right.$$
- step2: Substitute the value of $$x:$$
  $$\left\{ \begin{array}{l}y-z=-1\1-y+z-y+z=-1\end{array}\right.$$
- step3: Simplify:
  $$\left\{ \begin{array}{l}y-z=-1\1-2y+2z=-1\end{array}\right.$$
- step4: Solve the equation:
  $$\left\{ \begin{array}{l}y=-1+z\1-2y+2z=-1\end{array}\right.$$
- step5: Substitute the value of $$y:$$
  $$1-2\left(-1+z\right)+2z=-1$$
- step6: Simplify:
  $$3=-1$$
- step7: Calculate:
  $$\left\{ \begin{array}{l}x \in \varnothing \y \in \varnothing \z \in \varnothing \end{array}\right.$$
- step8: Rewrite:
  $$(x, y, z) \in \varnothing$$
El sistema de ecuaciones lineales no tiene solución. Esto significa que no hay valores de $$ x $$, $$ y $$ y $$ z $$ que satisfagan todas las ecuaciones al mismo tiempo.
El sistema de ecuaciones no tiene solución.

Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales y resolverlo cuando sea posible: \( \left.\qquad \begin{array}{c}x+y+\lambda z=\lambda^{2} \\ y-z=\lambda \\ x+\lambda y+z=\lambda\end{array}\right\} \quad\left|\begin{array}{cc}1 & \lambda \\ 1 & -1\end{array}\right|=-1-\lambda=0 ; \lambda=1 \)

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