Aplicar el método de la bisección para aproximar la solución de la ecuación \( e^{x}-x^{2}-2=0 \) con una tolerancia en el error absoluto menor a \( 10^{-2} \)

Para aplicar el método de la bisección a la ecuación \( e^{x} - x^{2} - 2 = 0 \), seguiremos los siguientes pasos: ### Paso 1: Definir la función Definimos la función \( f(x) = e^{x} - x^{2} - 2 \). ### Paso 2: Encontrar un intervalo inicial Necesitamos encontrar un intervalo \([a, b]\) tal que \( f(a) \) y \( f(b) \) tengan signos opuestos. Esto garantiza que hay al menos una raíz en el intervalo. Calculamos \( f(x) \) en algunos puntos: - Para \( x = 0 \): \[ f(0) = e^{0} - 0^{2} - 2 = 1 - 0 - 2 = -1 \] - Para \( x = 2 \): \[ f(2) = e^{2} - 2^{2} - 2 \approx 7.389 - 4 - 2 = 1.389 \] Dado que \( f(0) < 0 \) y \( f(2) > 0 \), podemos elegir el intervalo \([0, 2]\). ### Paso 3: Aplicar el método de la bisección El método de la bisección consiste en iterar el siguiente proceso: 1. Calcular el punto medio \( c = \frac{a + b}{2} \). 2. Evaluar \( f(c) \). 3. Determinar el nuevo intervalo: - Si \( f(c) = 0 \), hemos encontrado la raíz. - Si \( f(a) \cdot f(c) < 0 \), entonces la raíz está en \([a, c]\). - Si \( f(c) \cdot f(b) < 0 \), entonces la raíz está en \([c, b]\). 4. Repetir hasta que el error absoluto sea menor que \( 10^{-2} \). ### Iteraciones Comencemos el proceso iterativo: 1. **Iteración 1:** - \( a = 0 \), \( b = 2 \) - \( c = \frac{0 + 2}{2} = 1 \) - \( f(1) = e^{1} - 1^{2} - 2 \approx 2.718 - 1 - 2 = -0.282 \) - Como \( f(0) < 0 \) y \( f(1) < 0 \), actualizamos \( a = 1 \). 2. **Iteración 2:** - \( a = 1 \), \( b = 2 \) - \( c = \frac{1 + 2}{2} = 1.5 \) - \( f(1.5) = e^{1.5} - (1.5)^{2} - 2 \approx 4.481 - 2.25 - 2 = 0.231 \) - Como \( f(1) < 0 \) y \( f(1.5) > 0 \), actualizamos \( b = 1.5 \). 3. **Iteración 3:** - \( a = 1 \), \( b = 1.5 \) - \( c = \frac{1 + 1.5}{2} = 1.25 \) - \( f(1.25) = e^{1.25} - (1.25)^{2} - 2 \approx 3.490 - 1.5625 - 2 = -0.0725 \) - Como \( f(1) < 0 \) y \( f(1.25) < 0 \), actualizamos \( a = 1.25 \). 4. **Iteración 4:** - \( a = 1.25 \), \( b = 1.5 \) - \( c = \frac{1.25 + 1.5}{2} = 1.375 \) - \( f(1.375) = e^{1.375} - (1.375)^{2} - 2 \approx 3.951 - 1.890625 - 2 = 0.060375 \) - Como \( f(1.25) < 0 \) y \( f(1.375) > 0 \), actualizamos \( b = 1.375 \). 5. **Iteración 5:** - \( a = 1.25 \), \( b = 1.375 \) - \( c = \frac{1.25 + 1.375}{2} = 1.3125 \) - \( f(1.3125) = e^{1.3125} - (1.3125)^{2} - 2 \approx 3.711 - 1.7265625 - 2 = -0.0155625 \) - Como \( f(1.3125) < 0 \) y \( f(1.375) > 0 \), actualizamos \( a = 1.3125 \). 6. **Iteración 6:** - \( a = 1.3125 \), \( b = 1.375 \) - \( c = \frac{1.3125 + 1.375}{2} = 1.34375 \) - \( f(1.34375) = e^{1.34375} - (1.34375)^{2} - 2 \approx 3.834 - 1.8046875 - 2 = 0.0293125 \) - Como \( f(1.3125) < 0 \) y \( f(1.34375) > 0 \), actualizamos \( b = 1.34375 \). 7. **Iteración 7:** - \( a = 1.3125 \), \( b = 1.34375 \) - \( c = \frac{1.3125 + 1.34375}{2} = 1.328125 \) - \( f(1.328125) = e^{1.328125} - (1.328125)^{2} - 2 \approx 3.774 - 1.760 - 2 = 0.013 \) - Como \( f(1.328125) < 0 \) y \( f(1.34375) > 0 \), actualizamos \( b = 1.328125 \). 8. **Iteración 8:** - \( a = 1.3125 \), \( b = 1.328125 \) - \( c = \frac{1.3125 + 1.328125