Aplicar el método de la bisección para aproximar la solución de la ecuación $$ e^{x}-x^{2}-2=0 $$ con una tolerancia en el error absoluto menor a $$ 10^{-2} $$

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Para aplicar el método de la bisección a la ecuación $$ e^{x} - x^{2} - 2 = 0 $$, seguiremos los siguientes pasos: ### Paso 1: Definir la función Definimos la función $$ f(x) = e^{x} - x^{2} - 2 $$. ### Paso 2: Encontrar un intervalo inicial Necesitamos encontrar un intervalo $$[a, b]$$ tal que $$ f(a) $$ y $$ f(b) $$ tengan signos opuestos. Esto garantiza que hay al menos una raíz en el intervalo. Calculamos $$ f(x) $$ en algunos puntos: - Para $$ x = 0 $$: $$ f(0) = e^{0} - 0^{2} - 2 = 1 - 0 - 2 = -1 $$ - Para $$ x = 2 $$: $$ f(2) = e^{2} - 2^{2} - 2 \approx 7.389 - 4 - 2 = 1.389 $$ Dado que $$ f(0) < 0 $$ y $$ f(2) > 0 $$, podemos elegir el intervalo $$[0, 2]$$. ### Paso 3: Aplicar el método de la bisección El método de la bisección consiste en iterar el siguiente proceso: 1. Calcular el punto medio $$ c = \frac{a + b}{2} $$. 2. Evaluar $$ f(c) $$. 3. Determinar el nuevo intervalo: - Si $$ f(c) = 0 $$, hemos encontrado la raíz. - Si $$ f(a) \cdot f(c) < 0 $$, entonces la raíz está en $$[a, c]$$. - Si $$ f(c) \cdot f(b) < 0 $$, entonces la raíz está en $$[c, b]$$. 4. Repetir hasta que el error absoluto sea menor que $$ 10^{-2} $$. ### Iteraciones Comencemos el proceso iterativo: 1. **Iteración 1:** - $$ a = 0 $$, $$ b = 2 $$ - $$ c = \frac{0 + 2}{2} = 1 $$ - $$ f(1) = e^{1} - 1^{2} - 2 \approx 2.718 - 1 - 2 = -0.282 $$ - Como $$ f(0) < 0 $$ y $$ f(1) < 0 $$, actualizamos $$ a = 1 $$. 2. **Iteración 2:** - $$ a = 1 $$, $$ b = 2 $$ - $$ c = \frac{1 + 2}{2} = 1.5 $$ - $$ f(1.5) = e^{1.5} - (1.5)^{2} - 2 \approx 4.481 - 2.25 - 2 = 0.231 $$ - Como $$ f(1) < 0 $$ y $$ f(1.5) > 0 $$, actualizamos $$ b = 1.5 $$. 3. **Iteración 3:** - $$ a = 1 $$, $$ b = 1.5 $$ - $$ c = \frac{1 + 1.5}{2} = 1.25 $$ - $$ f(1.25) = e^{1.25} - (1.25)^{2} - 2 \approx 3.490 - 1.5625 - 2 = -0.0725 $$ - Como $$ f(1) < 0 $$ y $$ f(1.25) < 0 $$, actualizamos $$ a = 1.25 $$. 4. **Iteración 4:** - $$ a = 1.25 $$, $$ b = 1.5 $$ - $$ c = \frac{1.25 + 1.5}{2} = 1.375 $$ - $$ f(1.375) = e^{1.375} - (1.375)^{2} - 2 \approx 3.951 - 1.890625 - 2 = 0.060375 $$ - Como $$ f(1.25) < 0 $$ y $$ f(1.375) > 0 $$, actualizamos $$ b = 1.375 $$. 5. **Iteración 5:** - $$ a = 1.25 $$, $$ b = 1.375 $$ - $$ c = \frac{1.25 + 1.375}{2} = 1.3125 $$ - $$ f(1.3125) = e^{1.3125} - (1.3125)^{2} - 2 \approx 3.711 - 1.7265625 - 2 = -0.0155625 $$ - Como $$ f(1.3125) < 0 $$ y $$ f(1.375) > 0 $$, actualizamos $$ a = 1.3125 $$. 6. **Iteración 6:** - $$ a = 1.3125 $$, $$ b = 1.375 $$ - $$ c = \frac{1.3125 + 1.375}{2} = 1.34375 $$ - $$ f(1.34375) = e^{1.34375} - (1.34375)^{2} - 2 \approx 3.834 - 1.8046875 - 2 = 0.0293125 $$ - Como $$ f(1.3125) < 0 $$ y $$ f(1.34375) > 0 $$, actualizamos $$ b = 1.34375 $$. 7. **Iteración 7:** - $$ a = 1.3125 $$, $$ b = 1.34375 $$ - $$ c = \frac{1.3125 + 1.34375}{2} = 1.328125 $$ - $$ f(1.328125) = e^{1.328125} - (1.328125)^{2} - 2 \approx 3.774 - 1.760 - 2 = 0.013 $$ - Como $$ f(1.328125) < 0 $$ y $$ f(1.34375) > 0 $$, actualizamos $$ b = 1.328125 $$. 8. **Iteración 8:** - $$ a = 1.3125 $$, $$ b = 1.328125 $$ - $$ c = \frac{1.3125 + 1.328125 Para aproximar la solución de la ecuación $$ e^{x} - x^{2} - 2 = 0 $$ con una tolerancia de $$ 10^{-2} $$ usando el método de la bisección, se siguen estos pasos: 1. **Definir la función**: $$ f(x) = e^{x} - x^{2} - 2 $$. 2. **Encontrar un intervalo inicial**: Seleccionamos $$[0, 2]$$ ya que $$ f(0) = -1 $$ y $$ f(2) = 1.389 $$, con signos opuestos. 3. **Aplicar el método de la bisección**: - **Iteración 1**: $$ c = 1 $$, $$ f(1) = -0.282 $$ → $$ a = 1 $$. - **Iteración 2**: $$ c = 1.5 $$, $$ f(1.5) = 0.231 $$ → $$ b = 1.5 $$. - **Iteración 3**: $$ c = 1.25 $$, $$ f(1.25) = -0.0725 $$ → $$ a = 1.25 $$. - **Iteración 4**: $$ c = 1.375 $$, $$ f(1.375) = 0.060375 $$ → $$ b = 1.375 $$. - **Iteración 5**: $$ c = 1.3125 $$, $$ f(1.3125) = -0.0155625 $$ → $$ a = 1.3125 $$. - **Iteración 6**: $$ c = 1.34375 $$, $$ f(1.34375) = 0.0293125 $$ → $$ b = 1.34375 $$. - **Iteración 7**: $$ c = 1.328125 $$, $$ f(1.328125) = 0.013 $$ → $$ b = 1.328125 $$. - **Iteración 8**: $$ c = 1.3203125 $$, $$ f(1.3203125) \approx 0.0065 $$. El método de la bisección nos aproxima la solución a $$ x \approx 1.32 $$ con un error absoluto menor que $$ 10^{-2} $$.

Aplicar el método de la bisección para aproximar la solución de la ecuación \( e^{x}-x^{2}-2=0 \) con una tolerancia en el error absoluto menor a \( 10^{-2} \)

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