Calcola il volume di un prisma triangolare rego- lare che ha l'area totale di \( 261,5 \mathrm{~cm}^{2} \) e lo spigolo di base di 5 cm. \( \left[\approx 172 \mathrm{~cm}^{3}\right] \)

Calcoliamo il volume del prisma seguendo questi passi. 1. L’area totale del prisma è data dalla somma delle aree delle due basi e dell’area laterale. Se \( A_B \) è l’area della base e \( H \) l’altezza del prisma (cioè la lunghezza delle facce laterali), allora \[ A_{\text{tot}}=2A_{B}+P\cdot H \] dove \( P \) è il perimetro della base. 2. La base è un triangolo equilatero di lato \(5\,\mathrm{cm}\). La sua area è \[ A_{B}=\frac{s^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{5^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{25\sqrt{3}}{4}\, \mathrm{cm}^{2}. \] 3. Il perimetro del triangolo è \[ P=3\cdot 5=15\,\mathrm{cm}. \] 4. L’area totale è data: \[ 261,5=2\cdot\frac{25\sqrt{3}}{4}+15\,H. \] Calcoliamo \(2\cdot\frac{25\sqrt{3}}{4}\): \[ 2\cdot\frac{25\sqrt{3}}{4}=\frac{50\sqrt{3}}{4}=\frac{25\sqrt{3}}{2}\, \mathrm{cm}^{2}. \] Usando l’approssimazione \(\sqrt{3}\approx1,732\), si ha \[ \frac{25\cdot1,732}{2}\approx\frac{43,3}{2}\approx21,65\, \mathrm{cm}^{2}. \] 5. Ricaviamo \(H\): \[ 15\,H=261,5-21,65=239,85\quad\Rightarrow\quad H=\frac{239,85}{15}\approx16\, \mathrm{cm}. \] 6. Il volume \(V\) del prisma è dato da: \[ V=A_{B}\cdot H=\frac{25\sqrt{3}}{4}\cdot16. \] Semplifichiamo: \[ \frac{25\sqrt{3}}{4}\cdot16=25\sqrt{3}\cdot4=100\sqrt{3}\, \mathrm{cm}^{3}. \] Con \(\sqrt{3}\approx1,732\) otteniamo: \[ V\approx100\cdot1,732\approx173,2\, \mathrm{cm}^{3}. \] Dunque, approssimando, il volume è circa \(172\, \mathrm{cm}^{3}\).