3. Hallar " \( n \) " en el polinomio: \( P(x-2)=(3 n x-8 n)^{2}+(x-2)^{2 n}+12 x-24 \) Sabiendo que el término independiente excede en 14 a la suma de coeficientes del polinomio. \( \begin{array}{llll}\text { a) } 3 & \text { b) } 1 & \text { c) } 5 & \text { d) } 4\end{array} \) \( l \)

Para resolver el problema, sigamos estos pasos: **Dado:** \[ P(x-2) = (3n x - 8n)^2 + (x-2)^{2n} + 12x - 24 \] **Condición:** El término independiente (\( P(0) \)) excede en 14 a la suma de los coeficientes del polinomio (\( P(1) \)). **Paso 1: Expresar \( P(x-2) \) en términos de una nueva variable \( u = x - 2 \):** \[ P(u) = (3n(u+2) - 8n)^2 + u^{2n} + 12(u+2) - 24 \] \[ P(u) = (3nu + 6n - 8n)^2 + u^{2n} + 12u + 24 - 24 \] \[ P(u) = (3nu - 2n)^2 + u^{2n} + 12u \] \[ P(u) = 9n^2u^2 - 12n^2u + 4n^2 + u^{2n} + 12u \] **Paso 2: Calcular la suma de los coeficientes (\( P(1) \)) y el término independiente (\( P(0) \)):** - **Suma de los coeficientes (\( P(1) \)):** \[ P(1) = 9n^2(1)^2 - 12n^2(1) + 4n^2 + 1 + 12(1) \] \[ P(1) = 9n^2 - 12n^2 + 4n^2 + 1 + 12 \] \[ P(1) = n^2 + 13 \] - **Término independiente (\( P(0) \)):** \[ P(0) = 4n^2 \] **Paso 3: Aplicar la condición dada:** \[ P(0) = P(1) + 14 \] \[ 4n^2 = n^2 + 13 + 14 \] \[ 4n^2 = n^2 + 27 \] \[ 3n^2 = 27 \] \[ n^2 = 9 \] \[ n = 3 \quad (\text{descartando la solución negativa}) \] **Respuesta:** a) 3